LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

AC, BC seront représentées en projection par trois lignes planes AB', AC, B'C; les courbes issues du point A sont tangentes à leurs projections, et par conséquent les angles en A dans les deux triangles sont rigoureusement égaux; la différence entre l'un des deux autres angles B et C, et la projection, est infiniment petite du second ordre; il est facile de voir, en effet, qu'un angle situé sur un plan diffère d'un infiniment petit du second ordre de sa projection sur un plan formant avec le premier un angle infiniment petit du premier ordre. La somme des angles du triangle ABC ne diffère donc que d'un infiniment petit du second ordre de celle des angles du triangle AB'C; or les trois côtés de ce dernier triangle ont des rayons de courbure infinis. La démonstration a été faite (708) pour AB', AC; quant à l'arc B'C, projection de BC, nous savons, d'après ce qui a été dit (708) que la projection de BC sur le plan tangent en B a un rayon de courbure infini, et comme les plans tangents aux points A et B diffèrent infiniment peu, il en est évidemment de même de la projection sur le plan tangent en A. Les trois côtés du triangle AB'C ayant des rayons de courbure infinis, les angles formés par les cordes rectilignes de ces arcs avec les tangentes à leurs extrémités sont infiniment petits du second ordre, et la somme des angles de ce triangle ne diffère que d'un infiniment petit du second ordre de la somme des angles du triangle rectiligne qui a les mêmes sommets, c'est-à-dire de deux angles droits. La différence entre cette même somme et la somme des angles de ABC est d'ailleurs, comme on l'a vu, infiniment petite du second ordre: il est donc prouvé que la somme des angles du triangle donné ABC est égale à deux angles droits, si l'on néglige les infiniment petits du second ordre.

711. Si par un point pris sur une surface on mène des lignes géodésiques dans toutes les directions, et que sur chacune d'elles on porte, a partir de ce point, une longueur constante quelconque, le lieu des extrémités des arcs ainsi définis coupe perpendiculairement toutes les lignes géodésiques considérées. Soient en effet OM, OM' deux lignes géodésiques voisines de même longueur, il faut prouver que

l'angle OMM' est droit. Supposons, en effet, qu'il n'en soit pas ainsi; l'un des angles OMM', OM'M sera alors aigu et l'autre obtus. Admettons que l'angle en M soit obtus; menons par le point M sur la surface une ligne infiniment petite MK. telle que l'angle KMM' soit plus grand que KM' M: le triangle KMM' étant infiniment petit, on peut le regarder comme rectiligne, et l'on a» à cause de l'inégalité supposée des angles,