LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES

géodésiques, et sur une sphère de rayon unité les trois arcs de grand cercle qui sont les indicatrices sphériques des côtés du triangle. Soient ab, cd, ef, ces trois arcs; joignons par des arcs de grand cercle les extrémités correspondant a un même sommet du triangle primitif, et nous formerons un hexagone abcdef dont trois côtés sont des arcs de grand cercle, tandis que la nature des trois autres dépend de la forme des lignes géodésiques considérées; les six angles de cet hexagone sont droits; chacun d'eux est formé en effet par l'indicatrice sphérique de l'un des côtés du triangle géodésique donné et par Tare de grand cercle qui réunit son extrémité à celle de l'indicatrice du côté suivant; or, le plan de l'arc de grand cercle tangent à l'indicatrice sphérique d'une courbe est (566) parallèle au plan osculateurde celle-ci, et les points des deux indicatrices qui correspondent à l'un des sommets du triangle sur la surface donnée, sont les extrémités de deux rayons parallèles aux tangentes des côtés qui s'y croisent; le plan de l'arc de grand cercle qui les réunit est évidemment parallèle au plan tangent de la surface, en sorte que les deux lignes dont nous parlons sont perpendiculaires l'une à l'autre.

Appliquons à la ligne abcdef\e théorème de M. Bonnet, nous formerons un trait continu représenté sur la figure et composé de douze lignes parmi lesquelles neuf arcs de grand cercle formant trois triangles sphériques et trois courbes de nature variable avec celle des lignes géodésiques auxquelles on applique la démonstration. Il est clair, en effet, que lorsqu'on applique le théorème de M. Bonnet à un

polygone quelconque, à chacun des côtés du polygone correspond un des côtés de la figure qui partage la sphère en deux parties équivalentes, et k chaque sommet

correspond aussi un côté de la même figure qui est toujours un arc de grand cercle ; chaque sommet peut en effet être considéré comme un arc infiniment petit qui raccorde les deux côtés qui s'y réunissent, et les arcs de grand cercle d'un quadrant menés tangentiellement à ce côté infiniment petit étant tous issus d'un même point, leurs extrémités forment un arc de grand cercle ayant ce point pour pôle. La figure dérivée d'un hexagone a donc douze côtés parmi lesquels, en général, six arcs de grand cercle. Dans le cas actuel elle a neuf arcs de grand cercle, parce que trois sont dérivés des côtés bc, de, fa de l'hexagone, qui sont eux-mêmes des arcs de grand cercle; les arcs de grand cercle qui leur sont tangents sont en effet ces côtés eux-mêmes sur lesquels, à partir de chaque point, il faut porter un arc d'un quadrant. On déduira ainsi de chacun d'eux un arc de même longueur situé sur le même grand cercle; la figure dérivée aura enfin trois côtés curvilignes de forme variable suivant les cas, gh, hc, eg, et déduits des trois côtés ab9 cd9 e/de l'hexagone, (les trois lignes forment un triangle, ainsi que l'indique la figure; pour le prouver, il suffit de montrer que l'arc de grand cercle d'un quadrant, bh9 mené tangentiellement a ab, a même extrémité que l'arc de grand cercle d'un quadrant cà, mené par le pointe tangentiellement à cd. Les extrémités de ces arcs sont en effet situés sur des rayons parallèles aux normales principales des lignes géodésiques dont ab et cd sont les indicatrices sphériques; or, au sommet du triangle qui correspond aux points 6 et c, ces normales sont les mêmes puisqu'elles coïncident . toutes deux avec la normale à la surface sur laquelle le triangle géodésique est supposé tracé.

11 est donc prouvé que le trait continu qui divise la sphère en deux parties équivalentes est formé de douze lignes qui comprennent trois triangles sphériques et un triangle gki; la somme de ces quatre triangles équivaut à la moitié de la sphère; or je dis que le triangle ghi est précisément la courbure totale que nous voulons évaluer et dont ce théorème fournira ainsi la mesure. Les points du contour de ce triangle sont en effet les extrémités des rayons parallèles aux normales principales des trois côtés du triangle géodésique considéré, et par suite parallèles aux normales à la surface sur laquelle ce triangle est tracé : ce triangle ghi est donc la courbure totale que nous cherchons. Les trois triangles sphériques qui, réunis à ghi, forment une somme égale à la moitié de la sphère, sont isocèles et birectangles, et chacun a pour mesure sa base : or les bases sont égales aux côtés bc, de, fa, c'est-à-dire aux suppléments des angles A, B, C du triangle géodésique; la somme

77 — A -+- 77 — B -+- 77 — C ■+- ghi

est donc égale à la demi-sphère représentée comme on sait par 4 n» et l'on a

77 — A -h rt — B-+-77 — C -4- g7i i = 4 î: , d'où l'on conclut

ffAi = AH-BH-C-ï:;