A'B'— AB = A,A,-+-B1B' = AA

comme on l'avait annoncé. %

Courbure totale d'une portion de surface.

720. L'idée de courbure appliquée aux surfaces est extrêmement complexe; on peut en effet concevoir en chaque point une infinité de courbes tracées sur la surface, et la courbure de chacune d'elles est un des éléments qui figurent dans l'idée vague que nous exprimons par le mot courbure appliqué à la surface. Gauss a, le premier, défini celle-ci avec précision; l'illustre géomètre compare pour cela les points de la surface qu'il étudie à ceux d'une sphère ayant pour rayon l'unité de longueur, et il regarde comme correspondants dans les deux surfaces ceux pour lesquels les normales sont parallèles; d'après cette définition, à une portion quelconque de la surface donnée correspondra une portion de la surface sphérique dont l'aire est la courbure totale de la portion considérée.

La courbure moyenne d'une portion de surface est le rapport de la courbure totale à l'aire de la portion considérée,

La courbure d'une surface en un point est la courbure moyenne d'une portion infiniment petite de cette surface comprenant dans son intérieur le point considéré.

721. Bemarquons, avant d'aller plus loin, l'analogie complète des définitions précédentes avec celles qui se rapportent aux courbes planes.

La courbure d'un arc de courbe plane est, en effet, l'angle des tangentes extrêmes ou, ce qui revient au même, l'angle des normales à ses extrémités, c'est-à-dire l'arc de cercle de rayon unité compris entre deux rayons parallèles à ces normales; la courbure moyenne est le rapport de cet arc de cercle à Tare de courbe considéré, et la courbure en un point est la courbure moyenne d'un arc infiniment petit auquel ce point appartient; il est inutile d'insister sur l'analogie, qui est évidente.

Mesure de la courbure.

722. La courbure d'une surface en un point est égale à l'inverse du produit des rayons de courbure principaux.

Pour évaluer la courbure d'une surface en un point il faut, d'après la définition, chercher la courbure totale d'une surface infiniment petite qui contienne ce point : choisissons un rectangle infiniment petit formé par quatre lignes de courbure; soient da, d$ les côtés de ce rectangle, et R«, R2 les rayons de courbure correspondants; les normales menées par les points du contour ABCD forment quatre éléments de surface développable qui peuvent être considérés comme quatre facettes planes se coupant deux a deux k angle droit. Les parallèles k ces normales menées par le centre de la sphère de rayon unité formeront un angle tétraèdre à dièdres droits et détermineront sur la sphère un rectangle dont la surface est, par définition, la courbure totale de ABCD; les côtés de ce rectangle, égaux aux angles sous

lesquels ils sont vus du centre de la sphère, sont mesurés par ^, -^, R, et R, étant les deux rayons de courbure; la surface du rectangle est donc -^ji ' et le

rapport de cette surface à la surface de ABCD, égale à dadB, est ^-^ comme nous I avions annonce.

Si l'élément considéré sur la surface avait une autre forme, le résultat serait évidemment le même. Quelle que soit en effet la forme d'un élément infiniment petit, on peut le décomposer par des lignes de courbure en rectangles infiniment plus petits

que lui. La courbure moyenne de chaque rectangle étant, à la limite, l'inverse du produit des rayons de courbure» il en est de même de la courbure moyenne de leur ensemble.

723. L'un des rayons de courbure d'une surface développable étant infini, la courbure est, en chaque point, égale k zéro. Cela résulte d'ailleurs directement de la définition. Les normales menées par les différents points d'une génératrice étant en effet parallèles, les points de la sphère correspondant à tous ceux de la surface développable forment une ligne courbe, dont chaque point correspond à une génératrice tout entière, et la portion de sphère correspondant à un contour fermé grand ou petit a toujours une surface nulle.

Théorie du développement des surfaces.

724. Gauss a démontré plusieurs théorèmes relatifs à la courbure totale, que Ton doit compter parmi les plus élégants et les plus remarquables de la Géométrie. Sans aborder les méthodes employées par l'illustre auteur, nous donnerons la démonstration géométrique de ses résultats les plus importants.

Nous établirons d'abord un lemme dû à M. 0. Bonnet, et sur lequel ces démonstrations sont fondées.

Si l'on trace sur une sphère un contour fermé quelconque, et que par chacun de ses points on mène un arc de grand cercle tangent sur lequel on porte, toujours dans le même sens, une longueur d'un quadrant, le lieu des points ainsi obtenus divise la sphère en deux parties équivalentes.

Pour le démontrer, considérons d'abord un polygone ÀBCDEF formé par des arcs de grand cercle. Prolongeons les divers côtés, toujours dans le même sens, et de

chaque sommet comme pôle, avec un rayon sphérique égal à un quadrant, décrivons un arc de cercle : nous formons ainsi des triangles sphériques isocèles dont

chacun a pour mesure l'angle extérieur correspondant du polygone. La Géométrie élémentaire permet d'en conclure immédiatement que ces triangles ajoutés à la surface du polygone donnent une somme mesurée par quatre angles droits et égale par conséquent à la moitié de la sphère, en sorte que le trait continu PQRSTUVXYZMNP partage la sphère en deux parties équivalentes.

Si le polygone avait des angles rentrants, il faudrait, pour l'exactitude du théorème, retrancher les triangles qui correspondent à ces angles; mais la construction n'en donnerait pas moins un trait continu partageant la sphère en deux parties équivalentes : si, par exemple, le polygone est ABCD, et que des sommets A, B, C, D

comme pôles on décrive des arcs de grand cercle, PQ, RS, TU, VX, la ligne continue PQRSTUVX partage la sphère en deux parties équivalentes.

Si l'on fait augmenter indéfiniment le nombre des côtés du polygone, on le remplacera par une courbe fermée quelconque et l'on obtiendra le théorème énoncé.

725. Ce théorème remarquable ne diffère pas, au fond, d'une autre proposition énoncée par Jacobi.

Si par le centre d'une sphère on mène des parallèles aux normales principales d'une courbe fermée quelconque S, le lieu de leurs extrémités partagera la sphère en deux parties équivalentes.

Si l'on considère en effet l'indicatrice sphérique lieu des extrémités des rayons parallèles aux tangentes de la courbe S, les arcs de grand cercle tangents à cette indicatrice ont leurs plans (566) parallèles aux plans osculateurs de S, et le point situé sur l'un d'eux, a distance d'un quadrant de l'indicatrice, est l'extrémité d'un rayon mené dans le plan osculateur perpendiculairement à celui qui correspond au point de l'indicatrice, c'est-a-dire à la tangente de la courbe S; ce rayon est évidemment parallèle à la normale principale de S, et le théorème de M. Bonnet rentre par conséquent dans celui de Jacobi.

726. Considérons sur une surface quelconque un triangle formé par trois lignes