LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES
le triangle ABC ne cessera pas, après la déformation, d'être formé par trois lignes géodésiques delà surface déformée; les angles A, B,C, ne changeront pas, non plus que Taire ABC, et l'équation (i) doit par conséquent s'appliquer au nouveau système, ce qui exige que le produit RR' n'ait pas changé de valeur.
On peut démontrer cette proposition importante sans la rattacher à la précédente.
Supposons qu'un fil de longueur infiniment petite ? ait l'une de ses extrémités fixée au point considéré M, et tourne en restant tendu sur la surface ; l'autre extrémité de ce fil décrira une courbe dont la longueur ne variera pas lorsqu'on viendra à déformer la surface, et qui, de plus, pourra être considérée comme décrite sur la surface transformée, de la même manière qu'elle l'avait été sur la surface primitive, et à l'aide d'un fil de même longueur. Or nous allons calculer le périmètre total de cette courbe, et l'on verra qu'il ne peut rester constant que si le produit RR' des rayons de courbure est lui-même invariable.
Soient a;, j, z les coordonnées du point M; faisons, suivant l'usage, (2) dz = pdx-\-qdjr, dp = rdx-+-$dyi dq = sdx-\-tdy,
d'où l'on conclut
( 3 ) d*z =pd*x -+- qd*y -+- rdx* -+- 2 sdxdy-+- tdy2.
Appelons s l'arc d'une ligne géodésique passant au point (x9 y9 z) : on sait que la normale principale de cette ligne coïncide avec la normale à la surface ; il en résulte, en prenant s pour variable indépendante, (4) d*x-+-pd'z = of d*y-\-qd*z = o.
La direction de la normale à la surface forme en effet avec les axes des angles dont les cosinus sont proportionnels hp9 q et — 1 , et celle de la normale principale de la
courbe forme des angles dont les cosinus sont proportionnels (587) à -^p ^jr> -^r 5
les équations (4) expriment que les deux directions coïncident. En différentiant les équations (4)» on a
d*x +pd*z -+- ( rdx -+- sdy) d*z = o , d*y-hqd*z-t- (sdx -4- tdy)d*z = o.
De plus, si nous nommons Ç, rç, Ç les coordonnées de l'extrémité d'un arc égal à ?, porté sur cette ligne à partir du point (x, y, z)9 nous aurons
dx
d'xo*
d'xa3 + ~d7 6
d'za3 *+d¥-7
d'zv*
Supposons maintenant que le point (a?, y, z) soit le point désigné ci-dessus par M ; prenons ce point pour origine des coordonnées, Taxe des z étant dirigé suivant la normale à la surface : nous aurons
# = o, jr = Oy z = o, 7?=o, q = o.
On peut d'ailleurs disposer Taxe des X de façon que Ton ait $= o. Il suit de ces hypothèses et des équations écrites plus haut
dz = o, d,z = rdx2-htdy', d*x = o, d*y=o, d3x H- r*dx* -+- rtdxdy2 = 0, d*y-\- rtdx*dy -h i'dy = o.
Nommons a l'angle que fait avec l'axe des X la tangente à l'arc c mené par l'origine, de sorte qu'on ait
nous en conclurons
et par conséquent,
dx dy
-j- = cos a, -j-=sina,
as as
— - = rcos2a-Wsin'a,
ds%
—t^ = — r2cossa — r/cosasin'a,
dlr
-7- = — rt cos2 a sin a — /2 sin3 a , ds*
\ = o-cosa — y (r' cos'a-f- rt cos a sin a ) ,
r, = a sin a — -rr { rt cos2 a sin a H- /2 sin3 a ) , o
; = — ( r cos' a H- / sin' a ).
En donnant à a toutes les valeurs de zéro à 27:, on aura successivement, par ces formules, tous les points de la courbe fermée définie plus haut. Si maintenant nous désignons par 1 l'arc de cette courbe, lequel est une fonction de «, on aura
d<j=zs/d%-+-dr,'-hdi?,
ou bien, en ayant égard aux valeurs précédentes de £, yj, Ç, et observant que a seul est variable,
dl = doL i/o"7 — '-£- =da ( <7— ^- ■+-■••] 1 on en conclut
/ = a ( cr g- -f- • • J 4- consl. ,
