LIVRE TROISIÈME. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES. 75l
et si Ton suppose que Tare commence au point pour lequel a est nul el finisse à celui où a est égal à arc, on a enfin pour la longueur totale /de la courbe
. - rt or'
ou bien, en nommant R, R' les deux rayons de courbure,
/==27rsr-RF'
Cette valeur de / ne devant pas changer lorsque l'on déforme la surface, il en est de même évidemment du produit RR'.
Condition pour que deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre.
730. Deux surfaces étant données, le théorème de Gauss ne suffit pas pour décider s'il est possible on non de les appliquer Tune sur l'autre; on peut, en effet, quelles que soient les deux surfaces, établir entre leurs points une loi de correspondance telle, que les courbures soient les mêmes aux points qui se .correspondent; il suffit pour cela de regarder comme lignes correspondantes celles qui correspondent sur les deux surfaces à une même valeur du produit des rayons principaux, et d'établir ensuite entre les points de ces deux lignes une loi de correspondance arbitraire telle, que chaque point de l'une ait son correspondant sur l'autre. La courbure sera la même aux points correspondants ainsi définis, mais les deux surfaces ne seront pas pour cela applicables l'une sur l'autre; Gauss nous a appris, en effet, que si une surface est applicable sur une autre, la courbure est la même aux points correspondants; mais la réciproque n'a pas été démontrée et n'est pas exacte.
Plusieurs méthodes ont été données pour décider si deux surfaces sont ou non applicables l'une sur l'autre. Celle que nous allons exposer est due à M. 0. Bonnet.
Soient u et v deux variables en fonction desquelles soient définis les points de la première surface, u' et s/ celles qui définissent les points de la seconde. Supposons que les expressions des distances de deux points infiniment voisins soient, sur l'une et sur l'autre surface
ds* = \du*-h 2Bdudv-hCdv*9
rfs" = A' A*" -h iWdu'dv' -h C <//'.
Cherchons a établir, s'il est possible* entre u, «\ u\ v' deux relations telles, qu'il
en résulte identiquement
ds> = ds'\
Si l'on exprime pour chaque surface la courbure ^ en fonction des variables qui
servent à définir ses différents points, en nommant k et k les expressions de ces courbures en fonction de u et v pour la première surface, de v! et s/ pour la seconde, on doit, d'après le théorème de Gauss, avoir aux points correspondants la relation
Pour obtenir une seconde équation, supposons que l'on ait tracé sur les deux surfaces les courbes lieux des points pour lesquels le produit RR' est constant : celles qui correspondent à une même valeur de ce produit sur les deux surfaces renferment les points homologues. Soit A un point de Tune d'elles, et A' le point correspondant de l'autre ; il faut évidemment qu'en élevant sur chaque surface des lignes infiniment petites égales, perpendiculaires aux deux courbes, l'une en A, l'autre en A', leurs extrémités M, M' se correspondent, et que les courbures des deux surfaces y soient par conséquent les mêmes.
Pour exprimer cette condition par une équation, nômtnons u9 v les coordonnées du point A, u', v' celles du point A', u-\-du> v-hdv9 u'-i-du'9 v' •+-<& celles des points infiniment voisins dont nous avons parlé; on a, puisque les longueurs AM, A' M' sont égales,
( 3 ) kdu> -h iBdudv -+- Cdv> = k'du'* -f- *B' du1 ds/ -+- C dv'\
D'ailleurs, pour que le point M, corresponde à M', l'égalité k = t? doit être satisfaite par les coordonnées de ces deux points, et l'on a par conséquent
dk , , dk . dk' , , , dk> . , d-udu+Tvdv=dïdu + d;>dv'
Enfin, puisque AM est perpendiculaire à la ligne dont l'équation est
A* = eonst.,
si l'on prend sur cette ligne une longueur infiniment petite AB à partir du point A,
le triangle M AB étant rectangle, on aura
(4) mb'=mâVâb2.
Les coordonnées du point A sont u etç>, celles de M, u -+- dv, v-hdv. Soient u -+- &u, ?-h<3V celles du point B; en exprimant à l'aide de l'équation (i) les trois termes de l'équation (4), celle-ci devient
K{du — ôuy-hnB(du — ou)(dv — Sv)+C{dv — dvyz=Adu* + *Bdudv-hCdv* '
