LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES
dette formule pourra donner pour dk une valeur négative; il suffit pour cela que ■'on ait
xdy — ydx <o, «' est-à-dire, eh supposant x et dx positifs,
dx x*
^je qui suppose que la parallèle menée par le point 0 à la tangente en M, dirigée ^dans le sens où x augmente, soit au-dessous du rayon vecteur OM, et que, par suite, l'angle w diminue lorsque le rayon OM tourne autour du point 0 pour se transporter sur OM'.
L'expression xdy —ydx est donc négative, comme cela doit être, dans le même «as que l'expression équivalente p2dtù.
.Différentielle d'un arc de courbe.
118. La comparaison directe d'un arc de courbe avec la ligne droite prise pour minité étant impossible, une définition est indispensable. Nous avons adopté la suivante : La longueur d'un arc de courbe est la limite dont s'approche le ^périmètre d'un polygone inscrit, lorsque ses côtés diminuent indéfiniment. Il a été jprouvé (18) que cette définition est légitime, et l'on en a déduit qu'un arc infinimient petit diffère de sa corde, d'un infiniment petit du troisième ordre.
Soit AM un arc de courbe plane, rapporté à des coordonnées rectangulaires OX «t OY. Si, l'extrémité A restant fixe, l'abscisse de l'extrémité M reçoit un accroissement infiniment petit représenté par A#, l'arc prend l'accroissement infiniment petit MM'. Or MM' peut ( 19) être remplacé par sa corde^ qui n'en diffère que «l'un infiniment petit du troisième ordre, et cette corde est égale à
le rapport de cette corde à àx est donc
et la limite de ce rapport, c'est-à-dire la dérivée de l'arc, est
La différentielle de l'arc 5 est le produit de cette dérivée par dx, et Ton a , par conséquent,
ds = ^dx7-\-dy* ■+- dz\ I. 16
Lorsque la courbe proposée est plane, en la rapportant a deux axes de coordonnées situés dans son plan, on trouvera évidemment
ds = yjdx* -h dy\
1 19. Appliquons la formule précédente a l'arc de cycloïde. Nous avons trouvé (83), en prenant pour origine des coordonnées le sommet, et pour axe des X la tangente à la courbe,
on en conclut :
dx=i/ r :
dx V 2a — y' m = d*> + dr = 4' [. + ^-'] = ^ffe-'-
Or dy l/-T est la différentielle de 2>/2oy. La différence $ — i sjiay est donc
constante puisque la différentielle est nulle. Si Ton compte Tare s à partir du sommet de la cycloïde, les deux termes de la différence sont nuls en même temps quand on suppose y = o, et la constante est, par conséquent, nulle; on a donc
j = 2^2 ay.
On reconnaît bien facilement l'identité de ce résultat avec celui qui a été trouvé (20).
120. Considérons actuellement une courbe plane AM rapportée à des coordonnées polaires. L'extrémité A restant fixe, si l'on nomme p et w les coordonnées de l'extrémité M, cet arc, que nous désignons par s, est une fonction de w, dont nous allons chercher la différentielle.
Attribuons à u un accroissement MOM' représenté par Aa>, l'accroissement correspondant de l'arc s est MM' : Au étant supposé infiniment petit, l'çirc MM' peut être remplacé par sa corde qui n'en diffère que d'un infiniment petit du troisième ordre. Or, en abaissant du point M une perpendiculaire MP sur le rayon vecteur OM', on a
w'=5Fp'-hMP3.
