DIFFÉRENTIELLES DE QUELQUES FONCTIONS DÉFINIES GÉOMÉTRIQUEMENT
Différentielle d'une aire plane.
114. Il est impossible de passer en revue toutes les fonctions implicites. Nous avons vu (60) comment on différentie celles qui résultent de la résolution d'équations connues; nous nous bornerons à considérer, dans ce chapitre, Taire d'une courbe connue et la longueur d'un arc de courbe.
Considérons d'abord l'aire comprise entre une courbe plane, Taxe des X, et deux ordonnées dont l'une est fixe et l'autre variable.
Cette aire NAMP est une fonction implicite de x, dont nous allons chercher la différentielle, en supposant, bien entendu, que la courbe NM soit donnée par son équation.
Si Ton attribue à^r un accroissement infiniment petit dx, représenté par PP', Taire considérée s'accroît du trapèze curviligne MPM'P\ auquel on peut substituer le rectangle MKPP', car cela revient à négliger le triangle infiniment petit du second ordre MKM'. Or on a, en nommant y l'ordonnée MP,
MKPP'=^/jr.
La différentielle demandée est donc ydx et la dérivée de Taire, par rapport à .r, est y.
115. Le résultat précédent fournit la démonstration immédiate d'un théorème important:
H existe toujours une fonction dont la dérivée soit égale à une fonction donnée o (.r;.
Pour trouver une telle fonction, il suffit, en effet, de considérer la courbe dont l'équation en coordonnées rectangulaires est
Taire comprise entre .une ordonnée fixe et l'ordonnée dont l'abscisse est x, est une fonction déterminée, qui, d'après le théorème précédent, a pour dérivée <p (x).
116. Considérons, en second lieu, une courbe plane rapportée à des coordonnées polaires, et cherchons la différentielle de Taire comprise entre cette courbe, un rayon vecteur fixe OA, et le rayon OM qui correspond à l'angle w.
Si Ton attribue à l'angle w un accroissement intimaient petit MOM' représenté parrfo), l'accroissement de Taire est le secteur MOM'; du point 0 comme centre, avec OM pour rayon, décrivons Tare de cercle MP, on peut substituer à OMM' le secteur OMP, en négligeant le triangle infiniment petit du second ordre MM'P. Mais
le secteur OMP est égala p2 — ; telle est donc la différentielle de Taire considérée, et la dérivée de cette aire par rapport à gj est -•
117. On a besoin quelquefois d'exprimer la différentielle précédente en employant les coordonnées rectilignes; il est facile de déduire son expression du résultat que nous venons d'obtenir.
On a, en effet, en vertu des formules connues de transformation, en prenant pour origine des coordonnées nouvelles le pôle 0, et pour axe des X Taxe polaire,
tang « = %- , w = arc lang - -,
on en déduit
, xdy — rdx
et, à cause de x2 -+- y2 = p2 ,
fdtù = xdy — J'dx,
en sorte que la différentielle de Taire AOM est
. . xdv — vdx </A= — :
