La formule précédente peut se déduire de l'équation

ds7 — dx7 -h dy2 -+- dz7.

Ou a, en effet,

z z= p eus ô, x = p sin ô cos ^, j* = p sin ô sin +,

on en déduit

dz = — p sin ôf/0 -h cos ôrfp,

r/jr = p cos Qrfô cos + — p sin 9 sin ^ J^ -h sin 0 cos +rfp,

dy = p cos ôrfô sin + 4- psinô cos+rf\|>-»- sin Osin>J/</p,

*M en ajoutant les carrés on trouve, après des réductions faciles, dx2 ■+- dy1 -+• dz7 = </p3 -h p'dO2 4- p' sin2 0 cty2.

Différentielle d'un arc de courbe dans un système de coordonnées

curvilignes.

123. Le système le plus général que Ton puisse concevoir pour représenter les points de l'espace, est celui dans lequel un point est déterminé par l'intersection de trois surfaces données, de nature quelconque, et dont chacune se trouve définie par la valeur attribuée à un paramètre qui figure dans son équation. Supposons que les équations de ces trois surfaces soient résolues par rapport aux paramètres variables, et représentons-les par

Donner une valeur à a, c'est assigner une surface sur laquelle se trouve le point considéré; si Ton donne à la fois a et |3, le point est situé sur deux surfaces données et par suite sur leur courbe d'intersection; enfin la position du point est déterminée par l'intersection de cette courbe avec la surface qui correspond à la valeur choisie pour 7.

Il est facile de calculer la distance des deux points infiniment voisins dont les coordonnées sont a, /3, 7, a + rfa, |3 -f- rf|3, 7 -4- dy. En nommant en effet ds cette distance, on a

ds7 = dx7 -+- dy1 -h dz7.

Mais a?, y, z peuvent être considérées comme trois fonctions de a, |3, 7, et

I *v* fxJJ* I

dx = £d^%d^%d^ *»<*...*.■' <u^^ AT"

d*""^ dpur^-dy

Jfc Jft a* f .

, </z , r/2 ,„ r/z , <>u $u ha • , ^

et Ton voit, par suite, que l'expression de ds2 est de la forme ".& wï„M dx jU ^ 4**

rf53 = Ada'-hBrfpj4-CJ7J-f-Drfarf{i-hErfarf7-T-Frfpc/7. ^'«^ fc^* * ''

-*,H.^ fc ^* ^*A^' Ait- /

124. Si les surfaces représentées par les équations données se coupent orthogona- ~* *'■ lement pour toutes les valeurs de a, |3, y, les coefficients D, E, F disparaîtront de £? A la formule précédente, et l'expression de ds2 se réduira à la forme £z

ds> = kd&\-hBdF-hCdy>. . C&b

D En effet, dans l'hypothèse admise, les six surfaces qui correspondent aux valeurs

a, /3, y, a 4- rfa, |3-f-rfj3, y-t-é/y des coordonnées, forment un parallélipipède

rectangle dont la diagonale ds a pour carré la somme des carrés des trois arêtes;

mais les arêtes sont respectivement représentées par ce que devient ds quand on

suppose rf/3 = o, rfy = o, puis da = o, rfy = o, et enfin doc = o, rf|3 = o ; leurs

longueurs sont donc, d'après l'expression générale detk2,

dxsfk, dpjB, rfv\/C,

et l'on a, par suite,

rfs^Arfa'-r-Brfp'-hCrfv5,

en sorte que D, E, F sont nuls.

125. La considération du parallélipipède rectangle infiniment petit peut nous donner également l'expression simple des coefficients A, B, C ; Arfa2, par exemple, est le carré de la distance des points infiniment voisins correspondant aux coordonnées a, |3, y, a -f- rfa, |3, y. Si l'on nomme £ cette distance, ses projections sur les axes des coordonnées sont respectivement égales aux produits de £ par les cosinus des angles formés par sa direction avec ces axes; cette direction étant celle de la normale à la surface dont l'équation est

ct = ?(x, r, *),