LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

les trois projections sont représentées par

rfr —

'Tz

'dl-

. v/të)'-

(<i*V ld%y ,lz-

et par suite l'équation

/f/aV

. da. . rfa , rfa .

(/j • «V * as

donne

Donc

-=-vW^WHi)'

"~~ td*y /d*y /d*y

e1 représentant, comme on Ta dit, le produit A rfa2, on en conclut

ou aura de même

et l'expression de Us2 devient

126. Pour étudier les points d'une surface, on peut admettre que cette surface fasse partie du triple système de surfaces coordonnées, et qu'elle corresponde à une valeur donnée de l'un des trois paramètres, de y par exemple. Dans l'expression

très

précédente, il faudra alors supposer dy = o, et le carré de la distance de deux

points infiniment voisins prendra la forme

ol et /3 étant les paramètres de deux systèmes de courbes qui se croisent a angle droit sur la surface donnée.

127. Les formules précédentes fournissent, comme application particulière, la formule trouvée (121 ) pour exprimer la distance de deux points infiniment voisins dans le système de coordonnées polaires défini par les équations ^ K rw> v *>> *> ■-

M ^ i> , . 5 = PcosG, # = psin$cos+, j = psinôsin^, J'K ^, ^

équivalante *( ;^- » *''•*'*

p = ^x' h- y » -+- zJ , ô = arctang- — , ïp == arc tang - • Gf!;» -■

, S et d> étant ici les trois paramètres désignés dans la formule générale par les let- * res a, |3, 7, on trouve le résultat déjà obtenu ( 122) .*' <*Y" ^ ^ <♦'" ' - £

i/j» = rfp' -h p'rfô* -+- p2 sih* 9d$*. «™ ^1 *'• 7< . <"' ' ^ ,-\i>

Si Ton veut la distance de deux points infiniment voisins sur une même sphère de rayon p, il faut faire dp = o dans la formule précédente, et Ton a

dsi = pt(dQ>+s\n>Qdy)1

ce qui s'accorde avec le résultat déjà trouvé.

128. Après le système de coordonnées polaires, le système de coordonnées curvilignes le plus fréquemment employé est celui dans lequel chaque point est déterminé par Tintersection de trois surfaces homofocales du second degré.

Supposons qu'un point soit défini par les valeurs que prennent en ce point les trois racines de l'équation en jut ,

b et c désignant des constantes données.

Pour chaque point de l'espace les trois racines de cette équation sont réelles. Si Ton suppose par exemple b1 < c7, il suffit pour s'en assurer de faire successivement fca = -+- € , n2z=b7 — £, jxa = 6*-f-6, jxa = c*— £, n2 = c7 + t, c étant