LIVRE PREMIER. - ÉTUDE DES DIFFÉRENTIELLES ET DES DÉRIVÉES

infiniment petit et positif. Le premier membre prendra les signes suivants :

jF3 = t-2-Hs -+-

( fi1 = -h » — i

et comme le premier membre ne devient pas infini pour les valeurs de \i comprises entre celles qui sont réunies par une même accolade, il faut qu'il s'annule dans chacun de ces intervalles, et l'équation a par suite trois racines. Tune comprise entre o et b29 l'autre entre b2 etc2, la troisième entrer2 et -+- oo . Si Ton adopte la première racine, la surface représentée par l'équation ( i ) est un hyperboloïde à deux nappes, elle est un hyperboloïde à une nappe si l'on adopte la seconde racine, et un ellipsoïde quand on adopte la troisième. En nommant jul, y, p les trois racines et supposant u2 > v2 > p2, les trois surfaces ont pour équations

ti- u1 — b* a- — c7

t x xz y- z-

a> — ■+• -r— aï - ,- — ; = ' •

on constate facilement qu'elles se coupent a angle droit.

129. En regardant comme coordonnées d'un point les valeurs de jtx, v, p qui lui correspondent, la distance de deux points infiniment voisins prend une expression remarquable. Commençons par résoudre les trois équations (a). Pour y parvenir, décomposons en fractions simples l'expression

D'après la méthode connue fournie par l'algèbre élémentaire, cette fraction est le à

en faisant

Si donc on a

on en déduira pour X les trois valeurs, X = p'2, X = f/.2, X = v2 et les formules : i j font connaître a:, y et 2, en fonction des trois paramètres qui leur correspondent. On déduit des formules (2), en les différentiant après avoir pris les logarithmes des deux membres,

, xdp xdv- xdv

dx= — - -h — - H >

,/v r?d? , yy-dy. y*d*

,/, = z?dï . ^f* , f^'^L

et par suite, après des réductions faciles,

<tt </* h-o> +« — «p (pi ft.) (p.«c.) + ^ (^-^y-^)^"" [v«6i)(vi-^;

Si l'on suppose rfp = o, c'est-à-dire si les deux points infiniment voisins sont sur l'ellipsoïde dont l'équation estp = const. , cette formule devient

1 j [(f*'-*') (P'— C") (v2-ft2) (v2 — <-)J

130. Sur chaque surface et à chaque système de variables, correspond une forme particulière de l'expression qui représente dsÀ. L'étude de ces formes a, comme on le verra plus tard, une grande importance pour la théorie des surfaces, mais nous nous bornerons à donner ici celle qui convient aux surfaces de révolution.

Surfaces de révolution. — En prenant pour coordonnées des points d'une surface de révolution, la longueur a comptée sur le méridien, entre le point considéré et un parallèle fixe, et l'angle w formé par le méridien avec un méridien fixe, on voit