I -hj' r
en remplaçant chaque terme de la série (3) par son développement et réunissant les coefficients de la même puissance de r, on a
S = «„ + w, J-+- ( u, — u,)y-'-h{ u, — 2 u, -}- M, ) j^ + ( if i — 3 «3 + 3 Mj — ?<, ) j' -f- . . . ,
ou, d'après les formules connues de la théorie des différences,
S = u.-^-fu, -\-y^^Aa, -{-f^A'u, -h j'A'/<i H- . . . 4-j"A"-' m, +. . . ,
et comme l'équation ( a ) donne
i — x)" Si l'on suppose ic= — i, on a — — - = -, la série S devient
% S = «„ — Ui -\- u^ — Ui -i- u^ . . . ,
et sa transformée
251. La transformation précédente est remarquable et souvent utile, comme nous le montrerons, pour le calcul numérique des séries; mais, avant d'en faire une application, remarquons bien qu'elle ne serait plus légitime si l'une quelconque des séries considérées cessait d'être convergente. On comprend difficilement, par exemple, qu'on ait songé à l'appliquer aux séries
et qu'on en ait conclu pour la première la valeur -•> et pour l'autre la valeur^.
LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE, croyant justifier par là l'usage des séries
dans le cas où x est égal à l'unité et où elles cessent d'être convergentes. Il est utile cependant d'insister un peu sur ce point. La transformation d'une série divergente, lors même qu'elle donne naissance à une série convergente, doit être considérée comme insignifiante, à moins qu'une nouvelle démonstration ne vienne lui donner un sens; cette démonstration peut quelquefois être faite, parce que la série transformée et la série primitive étant démontrées égales lorsque toutes deux sont convergentes, fournissent deux développements de la même fonction. S'il arrive ensuite que l'une d'elles devienne divergente pour une certaine hypothèse, l'autre demeurant convergente représentera encore la fonction, justifiant en apparence ceux qui prétendraient que l'autre série la représente encore après être devenue divergente, et qui se trouveraient dans le vrai pour avoir commis la double erreur d'accepter une transformation qui n'est plus légitime et une série qui, étant divergente, ne représente plus rien.
Considérons, par exemple, la série
( I ) IX -\ x'^ -{- — X^ -\- -f- x^ -\- . . . .
En posant elle devient
Ainsi qu'on s'en assure aisément, le calcul numérique des premiers termes fait apercevoir la loi, et l'on démontre (*) ensuite qu'en posant
(*) La proposition inverse, qui est équivalente, est plus facile encore à établir. Si l'on se donne les valeurs de A«, , A^«,,. . ., i^'u^. . . , on aura, par une formule connue delà théorie des différences,
Or, en remplaçant ?/, et ses différences par les valeurs indiquées, le second membre devient
c est-a-dire car celte expression est précisément ce que devient : • quand
on v fait .r = i.
^loi PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Mais on a (225)
— y^ — 3j- + 67-^ + . . . dr — - ,r''+^ zfz. . . ;
en remplaçant chaque terme de la série (3) par son développement et réunissant les coefficients de la même puissance de y, on a
S = a, + «, j + ( M, — M, ) j^ + ( u, — iu,-\- M, ) j' 4- ( w, 3 M3 + 3 «2 — ;«, ) j* + . . . ,
ou, d'après les formules connues de la théorie des différences,
S=:«o+.rMi -f-r^AM, H-j3^3,^^ 4 j(A5w, -f- . . . +j''A"-' w, 4-. . .,
et comme l'équation ( 1 ) donne
s = ?f„ -h Wi h A M, -f . . . 4- A"-' a,
Si l'on suppose a:= — r, on a ^ = -, la série S devient
1> S=?<„ M, -h Mj M3H-M4...,
et sa transformée
251 . La transformation précédente est remarquable et souvent utile, comme nous le montrerons, pour le calcul numérique des séries; mais, avant d'en faire une application, remarquons bien qu'elle ne serait plus légitime si l'une quelconque des séries considérées cessait d'être convergente. On comprend difficilement, par exemple, qu'on ait songé à l'appliquer aux séries
S=i — r-hi — i-hi — i-f-..., S= I — 2 + 3 — 4-(-5 — 6-}-...,
et qu'on en ait conclu pour la première la valeur -, et pour l'autre la valeur-^
