LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Si les différences A w„ , Aw,,+ ,, ^u„^.^, quisont toutes négatives, vont en diminuant en valeur absolue, ce qui a lieu dans un grand nombre de cas, la série placée entre parenthèses est de même nature que la proposée, et sa valeur complète est moindre que son premier terme, en sorte qu'en prenant

s = s„ A — Uu ,

l'erreur commise est moindre que - Aw„. Si l'on avait adopté la valeur

( 5 ) S = 5„ + Un ,

l'erreur commise eût été moindre que u„+^. A m„ étant négatif, on voit qu'il faut préférer la formule (4) à la formule (5) toutes les fois que

Cette relation aura toujours lieu pour les séries peu convergentes, dont les termes décroissent lentement.

On a trouvé

(6) S=5„H--?/„ (ln„ ~ in-.^. + Min+i . ).

Cette équation peut s'écrire

(7) S — 5„ 4- - u„ A«„-t- -(A«„+i — Ml„+-]-Mi„^.. . .);

or, en vertu delà relation A' ii„ — Aii,,^, — \u„, les formules (6) et (7) peuvent s'écrire de la manière suivante :

(9) S= s„ -+- - Un àUn (A-'^/„-H, -h A'«„+. -!-••• ),

et, en formant la demi-somme des deux expressions de S ,

S = «„ H U„ — 7 A U„ + -j ( A- Un \- «„+. + A- Un^ . A- U,,^:. . .

Si les ditférences A-m„, A'-^w^^,, A^w,,^,»---» sont de même signe et vont en décroissant, la série entre parenthèses sera de même nature que la proposée, et, en la négligeant tout entière, l'erreur commise sera moindre que son premier terme. On pourra donc prendre

Sn H Un— -7 ^Un.

2o8 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

L'erreur commise étant moindre que 7 A^/^,,, la formule

peut s'écrire

et de même l'équation (9) peut être mise sous la forme

et, en prenant la demi-somme de ces valeurs de S,

S = Sn -h - Un — T A ?/„ 4- 7; A^ M„ — 7 ( A'^ u„ — A^ M„+, 4- A= M„+2 4- . . . ). 2 4 o 4

Si les différences A^ m„ , A ' m„+, , . . . , sont de mêmes signes et décroissantes, la série entre parenthèses sera, comme les précédentes, plus petite que son premier terme, et en prenant

l'erreur commise sera moindre que jtA'm,,.

Le même raisonnement peut se répéter indéfiniment, et l'on peut écrire