II II.»?, I I . I 2 . I J I I . I ?.. I 3 . I

^^ll„= ~ — 7 — -zi A^?<„ = —

ii.i2.i3 14. '5 Ii.i2.i3.i4i5.i6

et la formule

h = S„ -\ U„ -y ^ U„ -t- - A^ M„ ;:: A' U„ -{- :r- 1* U„ ttt A* U„

donne

c*est-à-dire 8 = 0,6931473

La série représente, comme on le verra, le logarithme népérien de 2, et les sept décimales sont exactes.

Méthode de Stirling.

253. Nous devons citer encore la méthode proposée par Stirling en 171 7 pour la sommation des séries, et qui consiste à transformer chaque terme de la série proposée en une série indéfinie de telle forme que les termes correspondants des séries successives puissent être facilement sommés. Il arrive souvent que par cet artifice une série est transformée en une autre qui converge bien plus rapidement et dont le calcul numérique est par suite beaucoup plus facile.

Les séries auxquelles Stirling cherche à ramener toutes les autres sont les suivantes (222):

Il réussit dans un grand nombre de cas à atteindre ce but, sans faire connaître toutefois de règle générale qui puisse y conduire.

La formule suivante est une des plus remarquables et la seule que nous citerons :

Z'-\-nZ ~ Z (5 + 1) "^ 2.(s-}-l)(2 + 2) "^ Z.(s + l)(2 + 2)(2 + 3)

(3 — Al) (2— 'n)(l — »)

"^z.(2-Hi)(2-|-2)(i; + 3)(2 4-4)'^"-'

la série qui forme le second membre étant indéfinie quand n n'est pas entier. La démonstration est d'ailleurs bien facile; en retranchant du premier membre le premier terme du second, puis la somme des deux. premiers, celle des trois premiers, on obtient successivement :

z-\-}i) z.(sH-i) z (2-l-i)(z-t-w)" I 1 I — 71 ( I - — n) (i — n

.{z-^-n) z.[z-hi) 2.(z + ij(> + 2) z {z-^i){z-h'?.){z-hn] I T T — n ( I — 'î ) ( 2 — fi)

( I — « ) ( 2 — n) [3 — II)

et, par suite, l'erreur commise en arrêtant la somme au terme de rang/?, est

2.(2 + i)(2-|-2).. .(^-|-p)(z-|/^)' et cette erreur tend vers zéro (242), pourvu que z -\- n soit positif.