LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
Lorsquune série
Uo
Un
dont tous les termes sont réels et fonctions d'une même variable x, est convergente pour toutes les valeurs de x comprises entre deux limites x^ et x.^, et devient discontinue pour une valeur particulière x = a, de telle sorte que pour x = a — s et X = a -h s la différence des valeurs quelle acquiert reste finie quand i est infiniment petite la série des dérivées
duo dx
du, dx
du,, dx
est divergente pour x = a.
Si l'on considère, en effet, l'équation
j== Wo+ «,-}-. . -H- u„ + . . .,
y est déterminé pour chaque valeur de x, et, puisqu'il y a discontinuité pour x = a, la courbe dont les points ont x pour abscisse et y pour ordonnée se compose de deux
branches distinctes, telles que AP et QB. Si l'on prend n termes seulement dans le second membre, la courbe dont les points ont pour ordonnées la somme de ces n termes représentera nécessairement une ligne continue qui, par sa nature, n'est coupée qu'en un point par chaque parallèle à l'axe des j. Or une telle ligne ne peut avoir pour limite la courbe composée des deux arcs AP et QB sans s'approcher en même temps de la ligne droite PQ qui les réunit; le coefficient angulaire de la tangente, c'est-à-dire
duo du, du,, '
dx dx ' dx ^
doit donc devenir infini pour x = a.
265. La remarque précédente, faite explicitement pour la première fois par M. Duhamel, permet de démontrer simplement un théorème dû a Abel, auquel les progrès de la science ont donné une importance capitale.
Une série de la forme
a, -+- Uix + (liX- -H ... 4- a„x" 4- . . .
est continue pour toutes l-es valeurs réelles ou imaginaires de oc qui correspondent aux points intérieurs à son cercle de convergence. Posons, en effet,
(i) ^ = js(cosy+v' — I sin^j,
la série devient
Oo-+- «1 p (cos(}'-f- y/ — I sinçp) + a,f- (cos2çp + s/ — • sin 2<p j -{-. . .
H-«„p"(cosn(})H- y/ — i sin/icp) -I-. . . .
Cette série est convergente pour toutes les valeurs de p inférieures au rayon R du cercle de convergence. On peut considérer ses termes, soit comme fonctions de la variable p, soit comme fonctions de la variable 9, et, en appliquant le théorème précédent, on verra que la somme est une fonction continue dep, tant que la série
a, (costpH- v/ — I sin<p) -h 2«2p(cos2(p4- v''— 1 sin 2cp) -4-. . .
+ «««?""' (cos;içp-t- v^— I sinn<p)+. . .
ne devient pas infinie, mais cette série ne diffère de celle que forment pour la même valeur de x les dérivées des termes de (i), que par le facteur (coso + s/^sin9); elle est donc convergente (262) pour les valeurs correspondantes aux points intérieurs au cercle de convergence de (i).
La somme de (2) est de même fonction continue de 9, tant que la série
■ a,p{ — sin'j> + \/ — I cosep)4-2a, p'( — sin i^-^-^J — 1 ces 29) -h. . .
-h na„f{— sin nQ-\- \J — 1 ces /i?) -}-• • •
reste convergente; mais chaque terme de la série (4) est égal au terme correspondant de la série (3) multiplié par p\]— v, elles sont donc convergentes en même temps, et la série (i) est fonction continue des deux variables p et 0 pour les valeurs de x qui correspondent aux points intérieurs à son cercle de convergence.
266. Lorsque les termes d'une série convergente sont fonctions d'une variable x, et que leurs dérivées forment elles-mêmes une série convergente, la fonction représentée par la série est, d'après ce qu'on vient de dire, fonction continue de la variable; mais il ne faut pas affirmer que toutes les fois qu'une fonction est développée en série convergente, les dérivées de ses termes par rapport à la variable dont ils dépendent forment le développement en série de la dérivée de cette fonction.
Soit, par exemple, la série
ces 2 .r cos3.ir Q.osix
ces X H 1 h - — ^TT— H 77 h- . . . ,
