La série

a le même cercle de convergence que la série

(a) a, 4-'2«2.r-l-. . .H-Mrt,,^""' +. . . ,

fournie par les dérivées de ses termes.

Soit en effet R le rayon du cercle de convergence. La série ( T) est par hypothèse divergente pour toute valeur de x dont le module surpasse R, et l'on sait f259) que pour de telles valeurs les modules de ses termes croissent indéfiniment. Si donc nous attribuons à x une valeur dont le module jo, surpasse R. A„ étant le module de a„, le terme a«^" aura pour module

qui, d'après ce qu'on a supposé, augmente sans limite avec n. Le terme correspondant de la série (2) a pour module

et il est évident nue - augmentant lui-même indéfiniment, ce nouveau module est

infini avec n, comme le précédent. La série (2) est donc divergente pour les valeurs de X qui correspondent à des points situés en dehors du cercle de convergence de la première.

Attribuons en second lieu a la variable x une valeur dont le module pa soit inférieur à R, le module du terme «„ ^" sera

et la série dont ce module est le terme général est convergente et a tous ses termes positifs.

Le module du terme correspondant de la série (2) est

Or la série dont le terme général est/i(^M est évidemment convergente, car

le rapport d'un terme au précédent a pour limite la fraction J^ moindre que l'unité, et le facteur A^^R""' par lequel il faut multiplier n r^j pour obtenir l'expression (4), n'augmente pas indétiniment. 11 est clair, d'après cela, que la série dont le terme général est nA„p"~" est convergente, et par conséquent la série (2) est convergente pour toutes les valeurs de la variable qui correspondent à des points intérieurs au cercle de convergence de la série (i).

Continuité des séries.

263. Lorsque les termes d'une série sont des fonctions continues d'une variable X, il semble évident au premier abord que la série, lorsqu'elle reste convergente, est elle-même une fonction continue de x, et cependant cette assertion ne serait pas toujours exacte. Si les termes d'une série convergente

sont, en effet, fonctions continues de x, il est clair que, x variant infiniment peu, cbaque terme variera infiniment peu; mais en est-il de même de la somme? Comme elle se compose d'un nombre infini de termes, on n'est pas en droit de l'affirmer.

Considérons, par exemple, la série

( I ) .r ( 1 — .r ) -1- x^ ( I — or' ) + JT^ ( I — x^)-\-. . .;

tant que x est moindre que l'unité, cette série est convergente. On peut l'écrire

et elle a évidemment pour somme

Si donc X s'approche de l'unité, la série (i), toujours convergente, acquiert des valeurs de plus en plus grandes; or, pour £»? = r, cette série est convergente encore et a pour somme zéro, puisque tous ses termes deviennent nuls.

Cet exemple, auquel nous aurons occasion d'en ajouter un grand nombre d'autres, montre quelles précautions on doit apporter dans les raisonnements relatifs aux séries.