LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Soient les séries

(1) S = Mo-f- "i-f- W2-I-. ■ •+ "»5

(2) S'= f„H- t'i-f-t'.+. ..-ht',,.

Je dis que la série

(3) M„ro4-(w„t'.-Hw.('o)H-( "o^'îH- ihv,-i- m„c'0 + - • .-f- («„ f„ -h «,(',<. + . . .-1-M„n)-I-- • •

est convergente et a pour limite le produit SS'.

Soient, en effet, S„ et S'„ les sommes des n premiers termes des séries (1) et (2), et SI' celle des n premiers termes de la série (3). Si w est le plus grand nombre

entier contenu dans ? le produit

est évidemment compris entre

qui comprend tous les mêmes termes et d'autres avec, et

dont tous les termes au contraire sont compris parmi ceux de (3), on a donc, puisque par hypothèse tous les termes sont positifs,

Or si n croît indéfiniment, il en est de même de m; par suite S„+, et S,„+, tendent vers S, S;^^, et S;„^, vers S', en sorte que S;;^, est compris entre deux produits qui tendent l'un et l'autre vers SS' : il a donc pour limite SS'.