Considérons actuellement deux séries quelconques

(i) WuH- Wi -+-•••+''« + •• •»

(2) tV +('.+...+ <'»-+-•• -,

dont les termes soient positifs ou négatifs, réels ou imaginaires, mais tels, que leurs modules forment deux séries convergentes. Je dis que le théorème précédent leur est applicable.

Soient toujours S„ et S'„ les sommes des n premiers termes des deux séries, et

désignons en outre par SI la somme des n premiers termes de la série que l'on

en déduit; on trouvera

S„ S' — S" = W„-, <^„-, + ( Un-^ Vn-: -t- W„-2 ^,.--1 ) +

De plus le théorème étant démontré lorsque tous les termes sont réels et positifs, dans cette hypothèse la différence S« S;,- S'I, et par suite la somme

converge vers zéro.

Désignons actuellement par p, p„p., p' , p\> p.,---, les modules des différents termes des séries (i) et (2). Les séries formées par ces modules étant par hypothèse convergentes, il résulte de ce qui précède que la somme

■ converge vers zéro pour des valeurs croissantes de n, et comme cette somme est supérieure au module de l'expression (3), ce dernier module, et par suite la différence S„ s;. — S'^ , converge aussi vers zéro.

271. Le théorème précédent suppose non-seulement que les séries proposées soient convergentes, mais encore que les modules des différents termes forment des séries convergentes. On peut montrer par un exemple que s'il en est autrement, la proposition est quelquefois en défaut.

Considérons les deux séries égales et convergentes

sjo. v/3 V'4 V5

. ^2 V3 v/4 v/5 ■■■' et formons leur produit, qui est le carré de l'une d'elles, en nous conformant à la règle donnée, nous aurons

,:^"^v/W Vv/3 v/^v/^ V3y Vv/4 v'3v/^ ^W3 V4 Or cette série est divergente, car le terme général

y/w. sj-iin — i) sj3{H—'2) V