LIVRE SECOND. - DÉ VELOPPE^fENTS EN SÉRIE

et, en appliquant successivement les formules (2) et (6),

"u f/"-' r , . dul

Pour calculer les dérivées ^^ ^■■■' ^d^^^^^^^^ ^^^ suppose 07 = 0, il suffit d'introduire cette hypothèse dans les valeurs que l'on vient de trouver, et comme toutes les différentiations sont prises par rapport à la lettre a indépendante de x, il est permis de faire x=o avant d'effectuer les opérations; on aura alors

z —a, ^=f' ia), et la formule (8) donne da '' ^ '

le développement de m, c'est-à-dire de/(2), est par conséquent

Cette formule très-élégante, qui a été donnée pour la première fois par Lagrange, est connue sous le nom de Formule de Lagrange.

312. Laplace, à qui est due l'ingénieuse démonstration que nous venons d'exposer, a présenté le théorème de Lagrange sous une forme plus générale, mais la formule qu'il a ftùt connaître se déduit si facilement de la précédente, qu'il semble inutile de la désigner par un nom différent. Supposons que l'équation (1) du paragraphe précédent soit remplacée par

et cherchons à développer une fonction/(z) en série ordonnée suivant les puissances de ^; posons

(2) a -f- :c!p(2) = /, on aura

et par conséquent, en vertu de l'équation (2),

(3) i = a^xo\\[t)\

Le problème revient alors à développer /[F [t)\ en série ordonnée suivant les puissances de a;, ce qui est une application immédiate de la formule de Lagrange; on a ainsi

/(.,=/[K,„,]-..,[F,«,]liHl£l]^^^Jj,[F,„,]|.î^iiill