LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
On a, en vertu du théorème de Maclaurin,
du\ x^ fd''u\ X" fd"u
dxjo i-^ \dx' Jo i .0.. . . n\dx"
fdu\ ^ /^\ ..., (Ç^J •> indiquant les valeurs que prennent les dérivées de u
\ (toc y ,j \ ClX y 0 \ doc j 0
par rapport à x, lorsqu'on y remplace, après la différentiation, x par zéro. Ces dérivées doivent se déduire de l'équation (i) qui détmitla fonction s, et la méthode générale, ap^icahle a toutes les fonctions implicites, permet de les calculer successivement; mais l'emploi de la formule (2) simplifie notablement les calculs en permettant, comme on va le voir, de remplacer les différentiations par rapportai par des différentiations par rapport à a: l'avantage de cette transformation est évident, car lorsqu'on différentie par rapport \ a, x est traité comme une constante, et il est indifférent de le supposer nul ^ant ou après les opérations. Or l'hypothèse x—o donne z = a, et les différentiation^ indiquées portent alors sur des fonctions explicites et données de la variable a.
On déduit de l'équation (j)
dz , , , I d^
et par conséquent
On déduit delà même équation (i
par conséquent,
^ ^ ■ * da~ \ — ^ (p' ( z )
La comparaison des formules (3) et (4) donne
dz , ,dz
En désignant par u une fonction quelconque de z, on aura
du du dz
dx dz dx
du du dz da dz da I. - 40
dx~
' I — ^ cp' ( Z )
dz
dz
31 i PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
et par conséquent l'équation (5) entraîne
du , , du
dx
da
d^u d^u Calculons maintenant -i— j? j-t""' ^^ cherchant toujours, comme nous l'avons
annoncé, à remplacer les différentiations par rapport à x par des différentiations par rapport à «. On a
d^u d f du\ ^ d V du 1 •
dx' dx \dxj dx {^ da\^
et, en vertu de l'équation (2) ,
, . d'^u d Y du~\
Si l'on représente w, qui est une fonction de z, par/(z), on a
du „, , ^ dz
dx
dx
et l'équation (7) devient
d^'u d V . .j,.. dz'\ d r , ^^ ^, , rlz~\ d V , dul
on en déduit
d'u d d^d d r dul d d T .,dul
dx' ~ dx'dx' ~"rf.r't/aL "^J ~d^"d^V^^'Ta\
et, en vertu de l'équation (2),
d' r ,,dul d^ V . ^ „, ^ dz'\ d' V , ,,, flzl d' r , .ilul
^A^^^'^TxS-lA'^'^^^'^Txl-^dA'^'^^^^^^
La loi générale s'aperçoit aisément, et l'on est conduit à écrire
t/"M ri"-' r /
dx" ~ da"-' \j^^'
du
da
Pour démontrer cette formule, supposons que l'on ait déjà trouvé
dx"-
da"'
on en conclut
rf"-'
dx" ~ da"-^dx
V , , dul d"-^ d r , ^ dul
