LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Le raisonnement précédent n'est donc plus applicable. On a, en vertu de l'équation (i),

\.a;=]iz~a) — \[^{z)], d\.x I d\.<f{z}

dz z — a dz '

l.(p(z)a, pour z — a, une valeur finie. On doit donc, en général, le considérer comme développable en série ordonnée suivant les puissances de s — « , et la dé-

P^Y^g (''^■j\^) jjg contiendra, par suite, dans son développement aucun terme clz

en — ; le développement de —j— ne contiendra donc qu'un seul terme de cette

espèce, et le coefficient de ce terme est l'unité.

En égalant les coefficients de -^^ dans les développements des deux membres

de l'équation (3), on obtient d'après cela

' " 1.2.3... /i — I da"~^

et par conséquent

" 1 .2.3. . « da"~^

ce qui démontre le tbéorème de Lagrange.

L'absence de rigueur est trop évidente dans la démonstration précédente pour qu'il soit nécessaire d'insister sur ce point. Nous ne pouvions pas cependant passer sous silence ces considérations aussi élégantes qu'ingénieuses qui, comme le remarque expressément Jacobi, tiennent de fort près à la Théorie des résidus, de Cauchy, qui sera exposée dans un autre cbapitre.

Applications de Informulé de Lagrange.