Puissance n^'"^^ d'une série. — Soit

(0 cio-{- a,x-\-a-,x'' -\-. . .-\- a^xP +. . .

une série convergenle. La métbode des coefficients indéterminés offre le moyen le plus rapide de calculer les coefficients de la série qui en représente la- puissance n'^""\ Posons en effet

(2) {a,-^-a,x-\-a,x\ . . -+-apXP-\-. ■ .)"= \o-+- A^x -\- A.x' -h. ■ . , on en déduit, en prenant les dérivées des deux membres,

(3) n[a,-\-ayX -{-.., -Jr a^xP. ..)"-' {a, + ia,x...+ paP xp-' +...)=A, -^o.X^x-^2>k,x^ -+-....

En divisant membre à membre les équations (2) et (3), et chassant les dénominateurs, il vient

{a^-\-a^x -\- aiX^-\-. . . )(A, H- T-h.x ■+-. . . pApXP-' H-. . .) = n{ai-i-2aix. . . -h p a^ xp-' -^ . . .){A,-\- X^x^ A^x' +...-\-\pXP ^. . .).

En effectuant les multiplications indiquées et égalant dans les deux membres les coefficients des mêmes puissances de x, on obtient les équations suivantes :

Ai«o = «Aoai, A,ai -h 2Ajrt„ = '2 /i A„«2 -h 'îAirti, A, «2 -h aAjfl, 4- SAs^o =: Snci^Ao + 2n«j A,H-/i«, A2, A, «3 + 2A2rt2 + 3 Astt, -h 4A4«o ^ /\ncuA„ + 3nrt3 A, + anrtsAjH- na, A^,

on en déduit

4 nAoa, na.,A„ (n — i) ^ nciiAo n(n — i) .

. n^sAo , (an — i). (n — 2) . A3= 1 5 ^«jA, + ~ -a, Ai.

Clii Ôtta 3rt„

On pourra continuer les calculs aussi loin que l'on voudra et rattacher ainsi tous les

coefficients les uns aux autres, en les faisant dépendre du premier Ao , qui reste

seul inconnu. Or on voit en faisant x = o que l'on a Ao = a". Le problème est donc

résolu.

Si l'on se donne, par exemple,

^3 3 2tvc s\n X ^= X + -7T -\- -f- x= -\- . . . ,

on en déduit

>vcsmxy=x^+j+-^+^+...,