I -\-xz

En chassant les dénominateurs et égalant les coefficients des mêmes puissances de z dans les deux membres, il vient

;r4-B, ^' = B,, B,^'-hB,^' = B,, B,j;^-h B3X« = B, ,..., on en déduit

et par conséquent

329 . Développement du produit [\ + x)[\ + x"^) [i^ x'') [\+x^).... Si l'on désigne ce produit par R et qu'on y change x en x-, il devient évidemment Si donc on pose

on doit avoir

et.en chassant le dénominateur pour égaler les coefficients des mêmes puissances de X, on trouve

I '=■ Cl j C| = L12 ) (^1 = L3 , Lj = L(4 , . • • 5

le développement est par conséquent

On peut d'ailleurs arriver au même résultat en remarquant que le second membre représente — ^1 et que l'on a identiquement

x+x [i-hx){\ + x^) (i+r)(i+3?')(i+^M ^

ce qui, en supposant a: plus petit que 1, donne évidemment pour limite la formule (i).

330. Nous rapprocherons des résultats précédents une formule très-remarquable due à Euler, et qui exprime sous forme de série ordonnée suivant les puissances de X, le produit infini

Si l'on désigne ce produit par S, on a évidemment

Désignons par —A l'ensemble des termes qui suivent les deux pr^emiers, c'est-àdire posons

A = ^'(i — .r)-h ^'(i — ^)(i — jc')-f-.r'(i — jc)(i — ;c')(i — ;c') + . . .,

que l'on peut écrire, en effectuant dans chaque terme la multiplication par {i — ce),

\ = x^ -hx^i — x') + x' [j — X'){l — x^)-{-. . . X^ X* {\ — X^) — X^ {l — .^^ ) ( I — x^) -\- . . . ,

et, en réunissant les termes qui contiennent actuellement en multiplicateur la même puissance de x,

A = o;^ — x' — x^ii—x') — x^\ — x''){i — X') — x"{i — ^-2 ) { I — x']{i — x')

Posons

A = x' — x' — Ji,

et par suite

îi=zx-'{i — x') + x'ii — x'){i — x')-hx''{i — x'){i—x'){i — x*)+...,

que'l'on peut écrire, en effectuant dans chaque terme la multiplication par i —x^, B = x' + x^i — x^)-{-x"{i—x^){i — x')-\-. . .

et, en réunissant les termes qui contiennent actuellement en multiplicateur la même puissance de x,

B = JI-- — x" — x"{\ — x^)— x^'ii — x'){i — X*) — x''{i — x^){i — x*){i—x') —

Posons

et par suite

C-x^'{i — x')-{-x''{i — x'){i~x')-hx''{i — x')ii — x'){\~x')-h...,

que l'on peut écrire, en effectuant la multiplication dans chaque terme par i — x\

et en réunissant les termes qui contiennent actuellement en facteur la même puissance de X,

Si l'on pose

on pourra transformer D comme on a transformé A, B et C, et en extraire deux termes

et en continuant ainsi indéfiniment, on trouve

Les coefficients sont alternativement 4- i et — i; quant aux exposants, pour en trouver la loi, il faut les considérer d'abord de deux en deux, c'est-a-dire porter son attention sur les premiers termes des groupes de deux, successivement extraits de produit; or on voit que dans la suite

les différences sont

5, 8, II, i4, • • • >

progression par différence dont la raison est 3; il est facile d'en conclure que les exposants sont contenus dans la formule

Zn? -\- n

On verra de même que les exposants

sont contenus dans la formule

et la formule cherchée est enfin

{\ — x)[\ — x-){\ — x''){\— x" )...=. i — X — x'' -\- X'' — X' -^ x^'- — ...-hx ' — X '•' -t-...,

et, cette loi une fois connue, on vérifie bien aisément que les termes successivement fournis par le mode de raisonnement employé y sont constamment conformes. I. 42