O . . . 2 Ai
on a, par conséquent, pour une fonction quelconque •
■ ■• r,(,r+/t),j,(^-) = /i<p'(^)4- J y{x^h)— cp'(x)]— -^ [^" ;x + li) — :i"{x)]
Cette formule a d'importantes applications, que nous étudierons dans un autre chapitre, lorsque nous pourrons faire connaître les conditions de la convergence et les .limites de l'erreur commise en s'arrêtant à un terme donné.
334. Formule de M. Boole. — M. Boole a fait connaître une formule analogue à celle de Stirling, qui s'obtient facilement, comme la précédente, par la méthode des coefficients indéterminés; elle est de la forme
^{x + /,) cp(^) =r. A, A [^' (^ 4- A) -+- <?' [x]] H- A, li'['^"{x + h) + ^" (x)l
En égalant, comme dans le cas précédent, les coefficients des mêmes puissances de A, et remarquant que (s^' [oc] est facteur commun dans ceux de h, o" [x] dans ceux de h'\ et ainsi de suite, on a
De ces équations on déduit
Pour trouver l'expression du terme général, remarquons, comme dans le cas précédent, qu'il est permis, sans changer les coefficients cherchés, de faire une hvpothèse particulière, 9 (a;) = e^ par exemple ; l'équation ( i ) devient alors
c'est-à-dire
A,= -, Aj=0, A3 = — -r, A, = 0, A5=-^, As^tO, ■ A,= ;;-î^,
.334 PRBAllERE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
Si l'on pose [œ-^h) —y, l'équation de M. Boole devient
?(r)— çp{^)=^[?'(r)-h?'(x)](j'— X)— -^[f'(j) + <p"'(^)](j-^)^ + ....
335. Formules de M. Tchebitchef. — La méthode des coefficients indéterminés a conduit M. Tchebitchef à plusieurs séries fort remarquables. Supposons que Ton connaisse un développement en série de la forme
Proposons-nous d'en déduire le développement de/(i) en série de la forme
Ce problème, dont les applications semblent au premier abord très-restreintes, a cependant une véritable importance. Pour le résoudre en général, et déterminer les coefficients A,, Aa,..., A„, qui, l'équation (2) étant admise, sont indépendants de la forme des fonctions qui y figurent, remplaçons dans l'équation (2], F(i), F (2), F (3),... parleurs valeurs déduites de l'équation (r), quand on y suppose successivement a? = i, x = i, xz='i,.... On obtiendra une équation de la forme
à laquelle on satisfera évidemment en posant
0 P.= i, P, = o, P, = o,..., P„=ro..;
on forme ainsi les équations
et l'on en déduit
J.a loi générale est la suivante :
Si n est premier, on a A„ = i . Si /^ est le produit de plusieurs facteurs premiers différents et en nombre k, on a A„ = (— 1)^ Enfin lorsque n contient deux fois le même facteur premier, A^ est nul.
La démonstration de ces trois théorèmes est fort simple. Si n est premier, le second membre ne contient que deux termes en/(/i), qui proviennent de A, F (i) et de A„F [n), en sorte que l'on a
o = Af+A„,.
et comme A, = i, on conclut
