LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEiMENTS EN SÉRIE

Si l'on a n =- pqrs ... Jd, p, q, r... ky l, désignant des nombres premiers différents, le coefficient de/{n) dans l'équation (3) est la somme des coefficients A, dont les indices sont les diviseurs de n. Or on peut partager ces termes en deux groupes: ceux qui ont pour indices des diviseurs du produit/?^r..J:, et ceux dont l'indice contient le facteur /. La somme des premiers est nulle, parce qu'ils forment

le coefficient de/ Ij), déjà égalé à zéro ; il reste donc

A/ + Api -+- A,/ -f- ... -h Ad/ + ... 4- Apqr.j/ = n ,

D désignant un diviseur quelconque du produit pq...k. Mais si l'on admet le ihéorème démontré pour les coefficients dont les indices ont un nombre moindre de facteurs, tous les termes de cette équation sont précisément égaux et de signes contraires (sauf le dernier), à ceux de l'équation qui exprime que le coefficient def{pqrs...k) est nul. Les derniers termes de deux équations doivent donc être de même égaux et de signes contraires; on a donc

et par conséquent, lorsque le théorème est vrai dans le cas où n contient moins de n facteurs, il est vrai aussi lorsqu'il y en a n.

Supposons enfin /z = ayo'", /) étant premier et différent de l'unité. En égalant à zéro la somme des coefficients dont l'indice est diviseur de «/?'", on trouvera d'abord la somme de ceux dont l'indice est diviseur de a, et cette somme est nulle, puisque le coefficient de /(a) doit être égalé à zéro dans l'équation (3). De même les termes dont l'indice contient une seule fois p en facteur, ont une somme nulle, comme on je voit en écrivant que le coefficient de/(a/?) est égal à zéro. Il en est de même de ceux dont l'indice contient p^ en facteur, et ainsi de suite, en sorte que Téquation se réduit à

D,, Dj..., désignant les diviseurs de a. Si donc on admet que A„ soit nul toutes les fois que n est le produit de /?'" par un nombre moindre que a, il sera nul nécessairement pour /î = a/?'", ce qui démontre le théorème, car il est bien facile de le vérifier pour n —/?'".

Pour appliquer le théorème précédent, considérons la formule évidente

on en conclut

on a aussi

X a: 2X 3x l\x on en conclut, en cherchant la valeur de pour ^=1,.

et par conséquent

(I — «)(t— a«p(i — rt'°)'"(i — g'M"--- ■

336. M. Tchebitchef a considéré également le cas où deux fonctions F (x) ei/{œ), sont liées par une équation de la forme

(,) ' F{x)=fix}^f{3x)-^fi5x)-h.... .

On peut encore dans ce cas exprimer /(i) par une série de la forme

(2) /(i) = A,F(i) + A3F(3) + AsF(5) + ....

Pour trouver les coefficients, on remplacera dans le second membre F(i), F (3)..., par leurs valeurs déduites de l'équation (1), et en égalant à zéro les coefficients de /(3),/(5),/(7)..., et à l'unité celui de/(i), on aura

A, = 1, A, H-A, = 0, A5-HA, = 0, A;-|-A, = o, A9+ A, 4- A,=o ,

En général, en désignant par n un nombre impair quelconque, il faudra égaler à zéro la somme des coefficients dont l'indice est un diviseur de n. On verra, absolument comme dans le cas précédent, que si n est divisible par un carré, on a A„ = 0, et que dans le cas contraire, si n est le produit de k nombres premiers différents, on a A„ — ( — i)*, et par conséquent la série ( i ) devient

/(,)=F(i)— F(3)-F(5)-F(7)-F(ii)-F(i3)-hF(i5)-F(i7)-F(i9) + F(2i)— ....

Théorie des fonctions génératrices .

337. La théorie des fonctions génératrices créée par Laplace a été exposée par lui dans son grand ouvrage sur le Calcul des Probabilités. L'autorité de son nom a contribué à faire adopter les définitions et les notations qu'il a employées; elles