LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

sont aujourd'hui trop connues des géomètres pour que nous négligions de les indiquer et de faire connaître quelques-unes de leurs applications les plus simples.

Lorsqu'une fonction <p {x} est développée en série ordonnée suivant les puissances de la variable dont elle dépend, et que l'on a

tf { X ) = A, + A, X + A, a:'' -+- . . . -\- A„ x" -\- . . . ,

on dit que <p [x] est la fonction génératrice de A„.

Ainsi, par exemple, e' est la fonction génératrice de ."

Lorsque le développement de 9 (x) contient des termes affectés d'un exposant négatif, la définition s'y applique sans difficulté et (p [x] reste la fonction génératrice de A,,, A„ étant une fonction de n qui, pour les valeurs positives ou négatives de l'entier n, représente le coefficient de x" dans le développement. Lorsque la série qui représente (p [x] ne contient que des puissances positives de x, A„ doit être considéré comme égal à zéro pour toute valeur négative de n.

338. 9 {x) étant la fonction génératrice de A„, ^-^^ est celle de A„^p, et 'p {x)xp

celle de A,,p. Lorsque n — p e&i négatif, A„p doit être considéré comme nul, mais le théorème reste exact, car dans le développement de '^ (x), les exposants de tous les termes sont positifs, et par conséquent dans celui de (p{x).jcP ils sont tous plus grands que p.

On voit tout aussi facilement que((>{x) (- — 1) est la fonction génératrice de A„+, — A„ouAA„, et il en résulte que 9 (ip) ( - — i ) est celle de A-A„, (p{x) (- — 1 )'

I ) celle de A^A,,.

En combinant ce théorème avec le précédent, on voit enfin que (p{x) x^(- ~ ^j est la fonction génératrice de A^A„p.

339. Les remarques qui précèdent fournissent une démonstration simple d'un théorème remarquable relatif aux différences d'une suite quelconque de nombres. Toute équation identique dont les deux membres sont des fonctions entières et

rationnelles de x, ^ et ( ^.— ' ) » reste exacte lorsque l'on y remplace les produits

de la forme x^ (^ - ' )' et ^ (^— iV par A'A„p et A^A^^^, A, désignant un nombre entièrement arbitraire.

Multiplions en effet l'équation identique donnée, par (p (a?) fonction génératrice de A„, et, après cette multiplication, développons en série les deux membres de l'équation qui, par hypothèse, sont identiques. Les coefficients de a:^' seront égaux L 43

de part et d'autre, et cela donne précisément le théorème énoncé, puisque (338) ^p ll^,y^[x) est la fonction génératrice de A-^A,,..,,, et^^ \^'~'] <?(^)c^'^^

de ^lAn^p-

340. Nous nous bornerons à citer les applications les plus simples du théorème précédent ; on a

Xl' ^ Xl'~^ 1.2 XP'

Il -+-. . .4-1 I

on en déduit

Ces deux formules, faciles à démontrer directement, sont l'une et l'autre trèsconnues, et nous avons déjà eu occasion d'en faire usage.

La formule suivante, donnée parLaplace, a aussi une grande importance. Posons

Le théorème de Lagrange donne

— = I + pa 4- -' — a- + r,

XP ^ I ^ 1,2 1.2.3

et comme d'après l'équation (3) on a « = ^ (^-^ij, cette relation, a lieu entre x, L et ( - — i) ; le théorème général peut donc être appliqué, et donne

Dans cette formule, A^, A,..., A«, sont les coefficients des puissances de x dans le développement d'une fonction quelconque; ce sont donc des nombres quelconques se succédant suivant une loi arbitraire; A,, A 2,..., A„..., sont également des nombres quelconques, car le développement de 9 (a;) peut contenir des puissances négatives à^x: on peut, si l'on veut, les supposer nuls.

La formule (i) donne

(5) j,^x^,=:X,^kx,,^-^LL^A,,.,--—-L- iA„3-l-.-., ■

les termes dans lesquels l'indice de A est négatif devant être remplacés par zéro. Dans la formule (5j, les facteurs A„, A„,,..., A^, qui restent les mêmes pour une valeur donnée de n, ont des multiplicateurs qui grandissent indéfiniment avec k, La série indéfinie formée par le second membre de (4) n'est donc pas convergente et doit être rejetée comme expression exacte de kn^p, mais elle peut cependant donner une approximation utile lorsqu'on se borne à un nombre limité de termes. C'est une circonstance remarquable commune à plusieurs séries divergentes, et dont nous donnerons d'autres exemples. La démonstration de Laplace n'est pas propre a la mettre ici en évidence, et nous allons, pour cette raison, en donner une démonstration plus directe, qui nous apprendra sous quelles conditions elle est applicable.

La formule (4) devient, lorsqu'on y suppose /?= i,

(6) • A„+, = A„ + aA„, + A-'A„, + A'A„, +

Pour l'établir directement, remarquons que l'on a, d'après les définitions des différences, •

A„+, =A„ + aA„,

aa„ = aa„, + A^v„- ,

et l'on en déduit, en ajoutant et supprimant les termes communs,

Si donc A'^"^'A„A est très-petit, on pourra regarder la formule (6) comme exacte, en se bornant aux k-\-\ premiers termes du second membre, et ne pas se préoccuper de la convergence de la série indéfinie.

En changeant n en n -h I dans l'équation (7), on a

Or on a, en remplaçant successivement dans la formule (7), A,,, qui est une fonction quelconque de n, par AA,, , A^ A„ , A^ A,,,..., et en même temps n par n — \, n— 1, 71 — 3,...,

et par la substitution de ces diverses expressions, l'équation (8) devient

■îfO PREMIERE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

le terme Rétant négligeable si les différences d'ordre supérieur à k" sont très-pelites. Cela posé, si l'on admet que la formule

soit démontrée exacte pour une certaine valeur de p, les différences d'un certain ordre étant négligeaJjles, on peut prouver qu'elle est vraie, sous la même condition, pour la valeur immédiatement supérieure. En prenant en effet les différences successives de deux membres de l'équation (g), et diminuant à cbaque fois l'indice n d'une unité, on a

A' A„+p 3 = A' A„3 -+-p\' kn-i -h . . . ,

et en ajoutant ces équations, remarquant que l'on a

il vient, en ayant égard aux propriétés connues des coefficients du binôme,

A„+/,+, = A„-(-(y3 + i}AA„, H--! '- A A„, -[-- ^ — A%\,jH-...,

la formule est donc générale.

341. Nous terminerons en indiquant quelques applications simples de la tliéorie des fonctions génératrices.

Problème. — Trouver une fonction de x telle que l'on ait

(.)■ F(.r-Hy^)-f-A,F(.r + /; — i) + A,F(,r+y? — 2)4-... +A^F(.r) = o,

p étant un nombre entier donné et x une valeur quelconque attribuée à la variable. Remplaçons x par un entier arbitraire n, on devra avoir

(2) F(/i-t-/?)-hA,F(«-|-/) -i)-|- ... +A^F(n) = o. Soit j la fonction génératrice de F(/i), c'est-à-dire la fonction

(3) j=F(o)-hfF(i)-h/'F(2)-f- ... 4-r'F(n)-f- ...; le premier membre de l'équation (2) est la fonction génératrice de