LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRTE. 3W
on en déduit
il faut prendre le signe — du radical afin que '^[oc) soit égal à l'unité pour x = o. On a donc enfin
c'est-à-dire, en développant le radical,
et enfin
OU, ce qui revient au même,
on en déduit
[in -t- 1)
équation que l'on peut démontrer directement, comme l'ont fait MM. Lamé et Rodrigues.
Sur une notation symbolique.
343. En faisant connaître l'expression de la n'^""' puissance d'un produit dans laquelle figurent les mêmes coefficients que dans la puissance /i'*'"'^' d'un binôme, Leibnitz a signalé d'une manière générale l'analogie qui existe entre les puissances et les différentielles des divers ordres.
Lagrange a développé cette idée en rapprochant à l'aide d'une notation symbolique plusieurs formules qui semblent au premier abord complètement indépendantes.
Convenons de traiter l'expression A- y- comme une quantité dont la puissance
n'^""\ multipliée par (p(a;), donne pour produit hT jj^ 1 le théorème de Taylor pourra s'écrire de la manière suivante :
(0 ^{x-i-h) = e ''"".fix).
3i4 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.
On vérifie aisément, en effet, qu'en développant e '^•' suivant les puissances de l'exposant et ayant égard à la convention précédente, le second nombre devient identique avec la série qui représente cp (x -h h).
On conclut de la formule (i)
("t ) Pour prendre la différence tV une fonction 9 (x), que l'on désigne liabiluellement
par A'f {œ), il faut donc multiplier symboliquement cette fonction parle ''^ — 1 j ; il est clair d'après cela que, pour prendre la différence seconde, il faut multiplier
symboliquement par \e ''^ — ly , et que l'on a généralement
344. Lagrange a eu l'idée d'attribuer dans la formule précédente une valeur négative à n, et d'écrire
mais il faut expliquer ce que signifient les deux membres de cette nouvelle formule et démontrer leur égalité.
Pour éviter une difficulté qui se présenterait dans ces explications, remplaçons d'abord 9 {00) par une dérivée ^' {x) ; écrivons donc
^'^^ A-'f (.r)=Ve ^- I j Y{x).
Nous exprimons par le signe A~' l'opération inverse de celle qui est exprimée parle signe A, c'est-à-dire que A'''c|>'(a7) a pour différence ^'(.^); de telle sorte
que
Quant au second membre, il faut, pour l'interpréter, concevoir que le fa-cteur (3) V "-
dx
soit développé en série ordonnée suivant les puissances de A t- et que, dans cette ^^^^^' \:^) "^^^^ ^^^^ remplace par ^^, -
