LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Pour démontrer l'exactitude de l'équation (i) entendue de cette manière, il faut faire voir que la différence du second membre, correspondant à un accroissement h de la variable, est'I^'l^)- Or la différence d'une fonction s'obtient, nous

l'avons dit, en la multipliant symboliquement par \e '^^ — i/, en sorte que ^j^' (a?) doit être multiplié successivement par les séries qui représentent — ^ ete '^^— i ;

le produit de ces deux facteurs se réduit évidemment à l'unité, quelle que soit la quantité représentée par A y-, et il importe peu que les puissances de cette quantité, li-r- 1 soient remplacées plus tôt ou plus tard par des dérivées, le produit symbolique se réduira de même à l'unité, et l'on a

et par suite

ce qui est précisément l'équation ( i ). En remplaçant le facteur

par le développement qu'il représente, l'équation ( i ) devient

d \-« -T- j "^'{oc) est ici la fonction dont la dérivée est t|>'(^), c'est-à-dire <^ (x); on a

donc enfin

Il ^ 1^ ' 11 ' 720

Si dans les deux membres, a:, reçoit l'accroissement /?, on aura, en égalant les I. 44

accroissements qui -en résultent et remarquant que celui du premier membre est,

par définition, égal à ^' [ce),

et, par suite,

formule importante et déjà démontrée (333).

345. L'emploi des notations symboliques permet d'énoncer sous une forme élégante un théorème connu sous le nom de théorème d'Herschel, et qui donne l'expression du développement d'une fonction de la forme «p [e^] en série ordonnée suivant les puissances àt x.

On a, par le théorème de Taylor,

Si donc on pose

(p(e') = Ao + A.^ + Aj x^-^. . . + A„x"-+-. • -,

le coefficient A„ sera la somme des coefficients de x" dans les développements des divers termes du second membre. Or on a

(2) (e' — \)P=ieP^ — pe(p-0^-j-^^^ '^ e<^P--^^-\-. ■ .-i-( — i )/'e",

et dans le développement du second membre, le coefficient de a?" est évidemment

77^^ [/^"-P (/>-!)" +^^^~'\/?-2)"... + (-r)fo"],

c'est-à-dire (340) \ APo";onadonc

(3) A„= \ r<p(i).o" + <p'(i)Ao«-+-ï^ A^o" + . . . '^"^'^ ^"0"],

où le premier terme qui est nul est introduit pour la symétrie. A"^*o", A""^-o",..., étant nuls, cette équation peut s'écrire symboliquement

(4) A., = tii±^.