CHAPITRE Vin. — Étude des lignes tracées suk une surface .... -ii

— Lignes géodésiques y'ii

— Courbure géodésique 786

— Courbure totale d'une portion de surface 741

— Mesure de la courbure j^j.

— Théorie du développement des surfaces 743

— Condition pour que deux surfaces soient applicables l'une sur l'autre -Hi

— Courbure des trajectoires orthogonales sur une surface quelconque 759

Table analytique 76:5

PRÉFACE

La découverte du Calcul infinitésimal a été pour la science mathématique le plus grand progrès qu'elle ait jamais fait et Toccasion des applications les plus variées et les plus inattendues. Les contemporains de Leibnitz et de Newton puisèrent dans leur exemple et dans l'étude de leurs méthodes la hardiesse d'aborder un grand nombre de questions qu'ils auraient naguère considérées comme insolubles, et le moyen de les résoudre facilement. liCs premiers succès furent tels, que l'on put supposer toutes les difficultés de la science surmontées à l'avance et croire que les géomètres, sans être distraits plus longtemps par l'élaboration des mathématiques pures, pourraient li l'avenir se conformer au vœu de Leibnitz et tourner exclusivement leurs méditations vers l'étude des lois naturelles. Mais cette illusion ne fut pas de longue durée; avec des méthodes plus puissantes on aborda des problèmes plus difficiles, qui, malgré la fécondité des nouveaux principes, demandaient des efforts d'invention sans cesse renouvelés. Le champ des découvertes à faire, contemplé d'une plus grande hauteur, n'en parut que plus vaste, et les régions nouvelles que l'on put entrevoir, s'étendirent, comme il arrive toujours, limitées seulement par le génie de ceux qui tentèrent de les explorer. I^es problèmes auxquels le Calcul différentiel doit son origine étaient loin cependant d'être nouveaux. Les grandes découvertes surgissent rarement, on le sait, sans avoir été préparées. L'idée la plus neuve naît souvent d'une idée plus ancienne dont l'auteur lui-même n'a pas aperçu les conséquences, très-apparentes pourtant quand on les connaît à l'avance. Les principes du (Calcul différentiel n'échappent pas à cette loi : ils sont en effet tellement simples, qu'ils semblent s'établir d'eux-mêmes et qu'on a besoin de les voir si ï. a

H PRÉFACE

féconds pour admirer le génie de ceux qui les ont énoncés les premiers en en démontrant l'importance. Bien des auteurs plus anciens avaient employé, dans des cas particuliers, la méthode même à la découverte de laquelle devait s'attacher tant de gloire ; ils se partagent l'honneur d'avoir posé les bases de l'édifice et contribué à l'accomplissement de ce grand ouvrage. Mais ce n'est pas notre intention de parcourir ici l'histoire des mathématiques pour y suivre cette trace que Leibnitz lui-même fait remonter jusqu'à Archimède (*) . Contentons-nous de dire, en ce moment, que la recherche des tangentes et celle des maxima et minima avaient souvent occupé les géomètres, et que l'on connaissait depuis longtemps le lien qui les unit, lorsqne Leibnitz publia en 1 684, dans les Acta Erudltorum de Leipzig, une Note de six pages intitulée: Novamethodus pro maximis etminimis, iteînque tangentibus, qiiœ nccfractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genns. A oilà certes un titre bien modeste ; on pourrait croire, en le lisant, que, la nouvelle méthode dispensant de chasser les dénominateurs et les radicaux, l'abréviation qui en résulte est son principal avantage : quoique les dernières lignes de l'article promettent des conséquences d'un ordre plus élevé, Leibnitz, en effet, ne semble pas savoir qu'il vient de révéler une des théories les plus déliées et les plus fécondes auxquelles l'esprit humain puisse atteindre.

Cette première Note expose, en leur imprimant le caractère de règles générales, des méthodes qui, appliquées à un cas simple, auraient différé fort peu de ce qu'on connaissait. Fermât dans la Théorie des maxima et minima^ Ikrrow dans ses Lectiones geometricœ, Sluze enfin dans les Transactions philo s o plaque s ^ avaient employé des principes analogues, et, sans pressentir la suite admirable de leurs conséquences, les esprits pénétrants en avaient déjà compris l'importance. Pascal, écrivant en effet à Sluze en 1 658, lui parlait des merveilles de la nouvelle analyse^ et il semblait annoncer les théories nouvelles lorsqu'il disait : « Il y a des propriétés communes à toutes ces )) choses dont la connaissance ouvre l'esprit aux plus grandes merveilles de » la nature : la principale comprend les deux infinités qui se rencontrent « dans tout, l'une de grandeur, l'autre de petitesse. »

( * ) Quocl calciilum diffère ntialem attinet, fatcor milita ei esse communia cum iis quœ et tibi et Fermatio nhisque^ imojam ipsi Archimedi ernnt explorata. (Lettre de Leibnitz à Wallis, 29 décembre 1698.)

PRÉFACE

11 est donc tout naturel que l'effet si profond de la publication de Leibnit/ n'ait pas été immédiat, et l'on ne s'étonnera pas que l'im des plus grands esprits de cette époque et de tous les temps, Huygliens, lui écrivît en 1G90, c'est-à-dire six ans après la publication de la Note des ^cta : v J'ai eu de temps en temps quelque chose de votre nouveau calcul algébraique dans les Actes de Leipzig; mais, y trouvant de l'obscurité, je ne l'ai pas assez étudié pour l'entendre, comme aussi que je crois avoir quelque méthode équivalente, tant pour trouver les tangentes des lignes courbes oii les règles ordinaires ne servent pas, ou très-difficilement, que pour plusieurs autres recherches. »

Deux mois après, il écrivait de nouveau: « J'ai tâché depuis ma dernière lettre d' entendre votre Calculas differentialis ^ et j'ai tant fait, que j'entends, mais seulement depuis deux jours, les exemples que vous en avez donnés. . . , et j'ai même reconnu le fondement de ce calcul et de toute votre méthode, qiie j'estime très-bonne et très-utile. Cependant je crois avoir quelque chose d'équivalent, comme je vous l'ai écrit dernièrement, w

C'est seulement trois ans après, le 1 7 septembre i G93, qu'il lui écrit enfin: (c Vous connaîtrez, monsieur, que j'ai fait quelque progrès dans votre excellent calcul différentiel, dont je goûte de plus en plus l'utilité. »

Trois ans après la première publication de Leibnitz, et lorsque la plupart des géomètres, peu famihers avec la nouvelle doctrine, étaient encore incapables d'en apprécier la portée et d'en pénétrer la profondeur, Newton publia l'immortel ouvrage qui, aujourd'hui encore, en contient les plus belles applications. Il y emploie constamment la méthode des fluxions, qui, sous une forme différente, repose sur la même idée que celle des différentielles.

Newton, dans sa théorie, assimile les grandeurs variables à des points en mouvement, dont la vitesse, ou fluxion, lui sert à étudier la loi des variations simultanées qu'il considère.

De même que nous avons du citer Fermât pour avoir fait usagé avant Leibnitz d'une conception analogue à celle des différentielles, il est juste de signaler ici l'analogie de la doctrine des fhixions avec les idées développées par Roberval dans sa Théorie des mouvements composés. Quoiqu'il se soit trompé dans l'énoncé des principes, les applications que fait Roberval sont exactes et nombreuses. Elles ont précédé de trente années

IV PRÉFACE

au moins la grande découverte qui devait les faire oublier. Newton ne cite pas Roberval, dont il ne connaissait pas sans doute le travail, mais il reconnaît expressément l'identité de sa doctrine avec celle des différentielles, et sans signaler la publication antérieure de Leibnitz, il ne conteste pas I indépendance de son invention. Il est difficile d'en convenir pins clairejuent qu'il ne le fait dans le passage suivant :

« Dans les lettres que j'ai échangées il y a une dizaine d'années avec l'habile géomètre Leibnitz, lui ayant annoncé que je possédais une méthode pour déterminer les maxima et les minima, conduire les tangentes et résoudre les questions semblables, et que cette méthode réussissait aussi bien pour les expressions irrationnelles que pour les autres; comme je la lui cachais sous des lettres transposées représentant la phrase suivante : une équation étant donnée qui contient des fluentes, trouver les fluxions et réciproquement, il me répondit qu'il avait également trouvé une méthode analogue qu'il me communiqua, et qui ne différait delà mienne que par les ujots et la notation. »

Rien n'est plus décisif que ces lignes écrites par Newton au moment même où il publiait pour la première fois sa doctrine. Les faits qu'il énonce n'ont d'ailleurs jamais été contestés. Antérieurement à sa première publication, I icibnitz avait échangé d'amicales communications avec l'auteur du livre des Principes et reçu la confidence de quelques-uns de ses résultats, sans f[ue toutefois on voulût lui révéler la méthode qui y avait conduit.

Les deux lettres auxquelles le passage cité fait allusion nous ont d'ailleuis été conservées. L'une d'elles est antérieure de douze années à la publication de Leibnitz, mais toutes deux ne lui furent communiquées qu'en 1^)76, c'està-dire huit ans encore avant l'article des y^cta Eruditorum. Ces lettres sont consacrées presque exclusivement à l'exposition de découvertes relatives aux séries et contiennent l'énoncé seulement du problème résolu par la méthode des fluxions, qui est cachée sous un chiffre dont Leibnitz, malgré sa pénétration, ne pouvait tirer aucune lumière.

Nous avons également la réponse de Leibnitz, écrite dix mois plus tard, le 2 1 juin 1 677 ; on y voit qu'en l'écrivant il était en possession de la théol'ie des différentielles. Supérieur au désir de grandir par une forme mystérieuse l'importance de ses résultats et étranger à la crainte de voir ses

PRÉFACE. V

découvertes faciliter celles d'un rival, il communique clairement toutes ses idées et l'énoncé des problèmes dont il désire encore la solution. Son seul tort fut de publier sept ans plus tard la solution des mêmes problèmes, sans déclarer que Newton savait aussi les résoudre et le lui avait annoncé le premier.

Il est difficile en effet de ne pas rapprocher le titre de la Note de Leibuit/ du passage suivant de la lettre de Newton :

« Bien plus, il ne s'arrête pas seulement aux équations renfermant une ou deux quantités indéfinies affectées de radicaux, mais sans réduction aucune de telles équations (ce qui exigerait le plus souvent un travail immense), la tangente est immédiatement déterminée. La chose se passe de même dans les maxima et minima. «

Ce passage rend les droits de Newton incontestables et ferait pencher la balance de son côté, s'il fallait absolument se prononcer entre les deux rivaux. D'autre part, c'est un principe établi que, dans les questions de priorité, l'antériorité de la publication constitue un droit al)solu : et ce sentiment^ dont Pascal s'est fait l'énergique interprète, déciderait au contraire en faveur de Leibnitz.

ce Dès qu'on a vu, dit-il, une invention publiée, on ne peut persuader les autres qu'on l'aurait trouvée sans ce secours, ni s'en assurer soi-même, parce que cette connaissance change les lumières et la disposition de l'esprit qui ne sont plus les mêmes qu'auparavant; et quand on aurait pris de nouvelles voies, ce n'en serait pas une marque, parce que l'on sait qu'il est aussi facile de réduire à d'autres méthodes ce qui a été une fois découvert, qu'il est difficile de le découvrir la première fois; qu'ainsi tout l'honneur consiste dans la première production, que toutes les autres sont suspectes; et que c'est pour éviter ce soupçon que les personnes qui prerment les choses comme il faut, suppriment leurs propres niventions, quand ils sont avertis ([u'un autre les avait auparavant produites, quelques preuves qu'il y ait qu'ils n'en avaient point eu de connaissance, aimant bien mieux se priver de ce petit avantage que de s'exposer à un reproche si fâcheux. »

Mais ces lignes si claires et si vraies ne peuvent s'appliquer ni à Leibnitz, ni à Newton. Pascal ne prévoit pas le cas oii l'auteur d'une découverte en aurait lui-même informé à l'avance, en cachant le secret de sa méthode,

VI PRÉFACE

celui qui doit la publier le premier. Or la lettre de Newton, communiquée à Leil)nitz, réservait évidemment tous ses droits, et Pascal lui-même ne lui eût pas conseillé de supprimer son invention. Si l'on peut deviner par analogie l'opinion de Pascal, on doit croire même que c'est à Leibnitz qu'il eût donné ce conseil. C'est en effet avec plus que de la dureté qu'il attaqua Torricelli pour avoir publié le premier la quadrature de la cycloide trouvée antérieurement, mais non publiée, par Roberval, et que, sans preuve positive, il se hâta de crier au plagiat. La question offre de grandes analogies avec celle qui nous occupe; on l'a moins étudiée, parce que l'objet de débat est moins important, mais les principes à invoquer sont les mêmes, et nous ne pouvons mieux faire que de citer l'opinion de l'Anglais Wallis, qui, défendant Torricelli contre l'attaque passionnée de Pascal, vient précisément justifier à l'avance la conduite de Leibnitz.

(( Nous devons certainement plus à Torricelli qui a rendu publiques des découvertes déjà faites, qu'à Roberval qui a supprimé les siennes; et nous demandons si, parce que Roberval ne voulait pas publier ses découvertes, il fallait que Torricelli ne publiât pas les siennes.^' »

Pascal dans une autre circonstance la justifie lui-même par son propre exemple. Robeî^val avait résolu un problème difficile relatif à certaines portions des surfaces cylindriques, mais sans vouloir en rien publier, afin, disait-il, de réserver sa découverte pour s'en servir en cas de nécessité. « Dès qu'il sut, dit Pascal, que je l'avais résolu, il déclara qu'il n'y prétendait plus et qu'il n'en ferait jamais rien paraître, par cette raison que, n'en ayant jamais produit la solution, il devait le quitter à celui qui l'avait produite le premier. Je voudrais bien, ajoute Pascal, que tout le monde en usât de la sorte. » Quoi qu'il en soit, et quelque opinion que l'on adopte, il faut rendre cette justice à Newton que, dans ces premières publications, il fut irréprochable. Mentionner les droits de Leibnitz au partage de la découverte était tout ce f[u'il devait faire, et c'est ce qu'il fît sans commentaires ni insinuations. On peut remarquer qu'il ne parle pas de l'article des Actes de Leipzig., mais peut-être ne le connaissait-il pas.

Leibnitz, de son côté, accepta avec la sincérité la plus franche l'exactitude des assertions de son rival sur le droit très-antérieur de sa découverte; il paraît même avoir été bien peu empressé de faire la comparaison des deux