La série

représente le plus petit des deux nombres a et p. Vérifier qu'en développant chaque terme en série ordonnée suivant les puissances de -, elle se réduit à a, et qu'en les développant

suivant les puissances de - elle se réduit: à p; celui des deux résultats qui s'obtient à l'aide

de séries convergentes est seul exact.

4, De l'équation

on déduit

y"" =z I 4- mx H ■ 1 ^ , - o X -t- . . .

m [m +(» — Qg+p] [/n+(n — 2)a4-?-6l. ••[m + a-+-(/?— i)p] ^„

La condition nécessaire ei suffisante pour la convergence de cette série est

5. En faisant tendre m vers zéro, on peut de la formule précédente déduire

i^= ,r + (^±i) ^. + (21+l)±L±lÊi ,. + . . .

6, Démontrer la formule

7. Démontrer, pour toute valeur de .r comprise entre — i et +i, l'identité des deux séries

-\- X 2 \i-\-xj 'i..L\ y I -+- X

dont la valeur commune est

si y-^ X 8. Démontrer la formule

* ri? x[x-^-\)[x^i) 2' .r(^ + i) (o^-h 2) (xH-3)

9. Appliquer la série de Burmann au développement de x suivant les puissances

jt OC

de -• On obtient la série