LIVRE SECOND. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Pour que le rapport de cet accroissement à dx-hdf\ — i soit indépendant de ^, on

doit avoir

fiv , (iq

(IV , — f/Q <h: ^

dx dx V — I

et l'on voit, après avoir chassé le dénominateur, que cette équation équivaut à deux

autres

clV dQ dV dQ dx df ^ df ~ dx

Ces deux équations sont nécessaires et suffisantes, d'après notre définition, pour que P4 Qy/^~r soit une fonction de x+ys] — i ; lorsqu'elles sont satisfaites, on a

^(^ + ,.^^3=7; dx ^' ' dx dy dr'

on en conclut que -f (z) désignant une fonction quelconque de la variable imaginaire z égale à .r+jy'^, et cp' [z] étant la dérivée de (p(z), on a

-d-cT-'^'^' d.f^{z\

Ces équations pourraient être écrites à priori comme conséquences de la règle de différentiation des fonctions de fonctions, s'il était permis d'invoquer cette règle avant d'avoir constaté l'existence d'une dérivée déterminée et indépendante du rapport des accroissements infiniment petits attribués à ^ et à y.

361. Les équations du paragraphe précédent qui lient l'une à l'autre les fonctions P et Q, permettent d'éliminer l'une d'elles et fournissent une équation importante à laquelle l'autre, considérée isolément, doit satisfaire. En ajoutant ces équations après avoir différentié la première par rapport à a; et la seconde par rapport à y, on trouve en effet

d'V d'P dx''^ dy' ~^'

et en les retranchant après avoir différentié la première par rapport à j et la seconde par rapport à a?, on a

dx' dy'

Ces conditions imposées aux fonctions P ^ Q expliquent comment une fonction ima-

ginaire possède, ainsi que nous le verrons, un grand nombre de propriétés trèsprécises et indépendantes de sa définition; il ne faut pas en effet, on le comprend dès à présent, attacher à une fonction imaginaire quelconque, l'idée d'une indétermination aussi complète que celle d'une fonction réelle quelconque. Pour chaque valeur de la variable, une fonction réelle peut être choisie arbitrairement, et les seules restrictions auxquelles sont soumises ses variations sont celles qui résultent

de la loi de continuité; la partie réelle et le coefficient àe \J —i dans une fonction imaginaire sont assujettis au contraire à des conditions très-précises exprimées par les équations que nous venons d'obtenir et d'après lesquelles chacune d'elles représente l'ordonnée d'une surface qui, loin d'être arbitraire, appartient à une classe toute particulière dont on conçoit fort bien que l'on puisse étudier les propriétés sans avoir besoin de rien préciser davantage.

362. Il sera utile d'exprimer les conditions nécessaires pour que la somme où P et Q désignent les fonctions des variables p et w, soit une fonction de

p(cOSwH-y/ — I Sillw).

Si l'on changeas en p -^dp, et w en oo-hc^w, l'accroissement de P + Q y — ^ est

^P , dV . ■ (dO , dQ ,

do ' dw \dp d(,^

l'accroissement correspondant de la variable est

r/p(cos w -h y/- — I sin w) -h pdw ( — siii w + y' — i cosw).

Pour que le rapport de ces deux accroissements soit indépendant de ^ , il faut et il suffit que l'on ait

dP , dq dV dO

ao do cf oi cl bi

cosw+y/ — isinw p^ — sin w H- v' — i

oos w ,

en multipliant par /5 y — i les deux termes du premier membre, les dénominateurs deviennent égaux, et l'on a, en égalant les parties réelles des numérateurs, et les coefficients de \/— r ,

' dp d(ù

dQ __ dV do d <ji