FONCTIONS D'UNE VARIABLE MAGINAIRE

Définition d' une fonction imaginaire.

359. Lorsqu'une fonction 9(2) est donnée pour toutes les valeurs réelles de la variable z dont elle dépend, elle n'acquiert pour cela aucun sens lorsqu'on y remplace 2 par une expression imaginaire a? -t-jV— I : l'expression, 9(^74-7 y/— 0» ne peut donc s'introduire dans les calculs ou dans les raisonnements, sans une définition précise qui, pour toutes les valeurs réelles de x et dey, en fasse connaître la j)artie réelle et la partie imaginaire, en permettant d'écrire

P et Q étant deux fonctions réelles connues de x et de j.

Il ne faut pas croire cependant que les deux fonctions P et Q puissent être choisies arbitrairement; toute expression de la forme

P + Qv'^^,

où P et Q sont des fonctions de x et de y, n'est pas une fonction de 07 + j^— 1 ; pour la considérer comme telle, on exige une condition sans laquelle disparaitrait toute analogie entre les fonctions imaginaires et les fonctions réelles ; pour que la somme P + QV— ' soit considérée comme une fonction de x-^ ysj— i 5 il ne suffit pas que cette expression soit déterminée lorsqu'on se donne x et j, il faut encore qu'elle ait une dérivée déterminée et que le rapport de son accroissement infiniment petit, à l'accroissement correspondant dx-^dy\l — i de la variable, soit indépendant du rapport arbitraire ^'- Si l'on voulait s'affranchir de cette condition, la théorie des fonctions imaginaires serait simplement celle des fonctions de deux variables et leur étude spéciale n'offrirait aucun intérêt.

^360. Lorsqu'on attribue à a; et à 7 les accroissements infiniment petits dx et dy, l'accroissement de P 4- Q V — i est

d. + -^-dy-^s'-^{-td--^izdy] = [-r-+>/-^-^)