LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE
puissances de (x-{-y\J— i) qui figurent dans les différents ternies de la série, et
réunissant dans ces divers développements les coefficients de ^,3 , on trouve
XP
(vV— ij' • , (rs/—i)"
n-rv— • -+- -+ • • ■ + ^^-^ — --h.-.
La partie réelle est
x'' [ y'' r* \ ■'xP
o \ ' 1 2~7 — • • • = 5 cos r,
et la partie imaginaire,
xP \l — I / K-* y" \ xP I .
' \.i.?>...pY 2.3 1.2.3.4-5 '" j 1.2.3
le terme en x^ est donc
xP I . 2 . 3 . . . p
et la série (1) se réduit à
(cos/H-s/ — I sinj),
(cos J-^s/— isinj) (ï + ^-^77^+- ••+ 7-^73 ~p^" ) =^'(cos/-+-v/— ' sinj);
on a donc enfin,
(2) e'-+-/*^-' = e^ (cosr + y/ — i sinj).
On peut remarquer que dans la démonstration précédente les termes de la série considérée ont été intervertis, mais, leurs modules formant une série convergente, cela n'a aucun inconvénient.
367. La fonction é^ étant, d'après la définition même, représentée par une seule et même série pour les valeurs réelles ou imaginaires de z, une seule et même série représentera aussi les dérivées dans les deux cas, et il en résulte que l'équation
s'applique aux valeurs imaginaires comme aux valeurs réelles de z. Il est d'ailleurs bien facile de vérifier directement que l'expression
e'(cosj+V — ' suïjr)
368 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉREiNTIEL.
satisfait aux conditions données (359) et qu'elle est égale à sa dérivée. On peut aussi vérifier la formule
qui a lieu pour toutes les valeurs des exposants z et u. Le succès de cette vérification ne doit d'ailleurs causer aucune surprise, e^ et e" étant en effet représentés par des séries telles, que l'équation (2) soit identique quand les variables sont réelles, il est tout simple que cette équation reste-vraie quand on substitue à x des expressions imaginaires quelconques.
En supposant .a7= o, on a
^■''^ = cosr-l- v^— ' ï^iiijj et en changeant/ en — r,
e~J -'=:cos/ — V — I sinj)^; on déduit de ces formules • '
cosj =
sm>-= =r—
368. Définilions de sin z et de cos^. — Les fonctions sins et coss sont représentées, lorsque z est réel, par les séries toujours convergentes
smz ^ z
ces 2 =: I h
En remplaçant z para; -f-jv — i » on aura deux séries, toujours convergentes aussi, que nous adopterons comme définitions de sin (a? -f-jv'— 0 ^t de cos(a? -h/V— 0- Il résulte immédiatement des définitions de e^, sinz et cos^, que l'on a pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de z
e''' -' z=z co^ z -\- \j — i sinz.
e-''^-' = cosz — y/ — i sin 2,
et, par conséquent.
sin z = .
