LIVRE SEœND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Ces formules permettent de calculer, sans recourir aux séries, la partie réelle et la partie imaginaire d'un sinus ou d'un cosinus quelconque. On a

r-os {x -^ysi—\) = '- —^ = cos^ h y/- 1 sinr

.sin(^+>V-0= 7= = V— 'f-osx hsiiij:

Si Ton suppose x= o, ces formules deviennent

•osjV-

sinr V — I = — r-= V — ' '

on en conclut

cos(x-i-r s/— ^) = cos^cosjV — ' — sinxsinjy/^^,

sin(j: 4- r y/— I ) =sin^ cosj \l — i H-cos^ sinjv — ' •

Ces deux formules sont d'ailleurs des cas particuliers des formules plus générales

cos(m H- f ) = cosM cost' — sin?<sint^,

sinfw + t') = sinMcosf -f-sinc cosM,

qui ont lieu pour des valeurs réelles ou imaginaires de u et de v. On peut vérifier aussi la formule

(5j sin'^H-cos^ 2 = I,

qui résulte des équations ( i ) et qui, combinée avec les équations (4)» permet d'étendre au cas des variables imaginaires les formules principales de la trigonométrie.

La forme des séries qui représentent sinz et cos^ montre enfin que l'on a pour les valeurs imaginaires comme pour les valeurs réelles de z

dsmz

cosz,

dz dcosz

~dr'

— sm2.

369. Définition de tangz. — La fonction tang z n'étant pas développable en série pour toute valeur réelle de z, ne peut pas, lorsque z est imaginaire, être détinie par la série qui la représente. Nous poserons, comme définition,

sinz

langz = 1

cosz

370 PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DlFréRENTIEL.

et, par conséquent,

lang2= —= F^ V— ' = V — ' ' +

nous poserons de même

I cosz e-'-'H-e-"-' , ' /

coi2=; = —. — = — :/= -=iv— '=v— ' ' -7

Les formules

dz COS^2

dz sin'3

sont applicables à des valeurs quelconques de z, car la règle de différentiation des fractions, appliquée à ^^ et ii ^-?^. donne les mêmes résultats, et les réductions ultérieures sont les mêmes lorsque l'on suppose z réel ou imaginaire.

370. Définition de\ z. — Lorsque z Qiu sont liés par l'équation (i) . z^e",

on dit que u est le logarithme népérien de 2, et l'on écrit

z étant une fonction de u, u est une fonction de z. La condition pour qu'il en soif ainsi, est en effet, d'après notre définition, que le rapport ^ soit déterminé, et c'est

ce qui a lieu nécessairement, puisque ^ l'est lui-même.

Si l'on suppose 2 = ^+jV^^' ^a partie réelle et la partie imaginiure de \z se déduisent aisément de la définition précédente. Soit \z =:p -\- qsj — i , on doit avoir

(3) ■ x->ry \l^-i—eP+'i'^-'=eP{QOS,q^\l—is'\wq),

et cette équation équivaut aux deux suivantes :

x=^ePcosq,

y^:=ePsii\q.

On en déduit

(5) e-p = x'-{-r'^ tang^ = -, ,