I -\- X -[-y\J — I =p' ( cosw -t- \l — I sinw

p' et cù sont les coordonnées polaires du point M, lorsque l'on prend pour pôle le point A, et OX pour axe, l'angle w pouvant, bien entendu, être augmenté ou diminué d'un multiple de in. On aura

u = p'"' (cosw -+- \l — \ sinw)"' = £>'"' (ces m&j-f-y/ — i sin /nw),

et il faut décider quelle valeur, dans cette expression, doit recevoir l'angle o*. Or, en supposant z =o, on a, par convention, u = i. On doit prendre, par conséquent, p' = \, w =: o; z changeant d'une manière continue, p' et w doivent varier aussi d'une manière continue, et il est évident que le point M ne sortant pas du cercle

de rayon unité décrit du point 0 comme centre, w reste compris entre — - et -i- -?

ce qui dissipe toute ambiguïté.

Si le point auquel correspond la valeur de z pouvait se mouvoir librement sur le plan, la valeur correspondante de oo variant d'une manière continue, pourrait

n'être plus comprise entre — - et + -> et tout en assignant à u la valeur -h i

comme correspondant à la valeur initiale z = o, on devrait pour chaque valeur de z, y compris même z = o considéré comme valeur finale, regarder u comme indéterminé. Il est clair en effet que dans l'expression

(i H- z)'"=p''" (cosmw-i- y/— 1 sinmw),

w = o correspondant, par convention, à la valeur initiale z = o, si le point du plan auquel correspond la valeur de z tourne autour du point A, w qui est l'angle formé par le rayon vecteur AM avec l'axe AO recevra, à chaque révolution, un accroissement égal à 271. Si, par exemple, le chemin suivi pour aller de 0 en M est celui que représente la figure

la continuité exige que l'on prenne w égal à l'angle MAO augmenté de 4;:, et l'on i. 48

aura, dans cette hypothèse, en posant MAO = a,

H = (i -h z)'"= p'"'[cos [ma. -+- 4 mn) -\- \/ — i sin {ma. -+- 4 nnz)].

Si le point mohile revient en 0 après avoir fait une révolution autour de A, un aura

H = ces 2 w TT H- y/ — I sin ?. m tz,

et l'hypothèse d'une valeur unique, m= + i, correspondant sl z=zo, est incompatible, par conséquent, avec la continuité de la fonction qui est essentiellement ambiguë si l'on ne limite pas, comme nous l'avions fait d'abord, les valeurs (jue peut prendre z.