Considérons enfin la fonction

qui, pour chaque valeur de z, a, par définition, une infinité de valeurs distinctes qui deviennent toutes infinies quand on suppose z = — i. Pour s = o, on a

Prenons ^=: o et supposons, par conséquent, que, pour z = o, u se réduise à zéro.

Si z, partant de la valeur zéro, change d'une manière continue, et que la courbe dont les points représentent ses valeurs successives ne passe pas par le point qui correspond à z= — \, les valeurs successives de l(n-^) seront déterminées, et si Ton veut que z devienne égal à x, +/, \/— ' » 1^ valeur correspondante de u dépendra de la courbe par laquelle on aura réuni l'origine au point dont les coordonnées sont ^, , 7i > mais elle restera invariable si cette courbe se déforme sans traverser le point correspondant à z = — i , pour lequel toutes les valeurs de 1 (1 + ^) sont infinies. Cette condition sera évidemment remplie si l'on assujettit, comme dans le cas précédent, le module de z à rester inférieur à l'unité. En adoptant cette convention, à chaque point intérieur au cercle de rayon unité décrit de l'origine comme centre, correspondra une valeur déterminée de u que nous allons calculer.

On a (370)

1 (1 + x-hxsi'~) = ^ 1 [(i + ^)^ 4-r] + v/=^arc tang (^^)'

et il s'agit seulement de décider parmi les arcs dont la tangente est ^ ^ 5 quel est celui que l'on doit adopter. Or, par hypothèse, pour a? =: o, y = o, on a

1 (i +.r + jV— ij = 0,

par conséquent arc tang— ^^^ — doit être pris égal -à zéro. Cela posé, ^^ ^ ne pou-