LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. [m

379. Lorsqu'une fonction est définie pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires (le la variable, on peut assigner des limites hors lesquelles son développement en série est impossible. 11 faut, pour qu'une fonction soitdéveloppable en série, qu'elle soit continue, finie et bien déterminée pour les valeurs de la variable dont le module est moindre que le rayon du cercle de convergence de la série (261 j. La série ne peut devenir infinie pour une valeur de la variable sans l'être également (258) pour celles de module plus grand. Une fonction qui devient infinie pour une valeur particulière de la variable ayant un module R, ne peut donc être développable que pour des valeurs, de module inférieur à R. Cette remarque s'applique à la dérivée de la fonction, car la dérivée d'une série convergente ordonnée suivant les puissances de la variable, est toujours convergente; ainsi, par exemple, arctangr,

ayant pour dérivée — ^ — ^i qui devient infinie pour z = \/ — i, ne peut être développable en série ordonnée suivant les puissances de z, que pour des valeurs de z dont le module ne surpasse pas l'unité.

380. Pour qu'une fonction soit développable en série ordonnée suivant les puissances de la variable, il faut enfin qu'elle soit bien déterminée, c'est-à-dire qu'à chaque valeur de la yari^ihlG puisse correspondre une valeur unique de la fonction. Il semble au premier abord qu'il soit toujours possible de faire disparaître l'ambiguïté, en faisant un choix entre les valeurs de la fonction, de manière à n'en laisser subsister qu'une seule pour chaque valeur de la variable; mais on a vu qu'une pareille convention est quelquefois incompatible avec la continuité de la fonction, qui est une condition non moins nécessaire de l'existence d'un développement. Pour cette raison, la fonction (i + z)*" , ne peut pas, d'après ce qui a été dit (376), être développée en série convergente pour des valeurs de z dont le module surpasse l'unité. Si l'on impose au contraire à z la condition de ne recevoir que des valeurs dont le module soit moindre que l'unité, aucune des conditions énoncées ne s'oppose à la possibilité d'un développement, qui dès lors, comme nous le démontrerons dans le second volume, est possible et déterminé.

Développement de 1 ( i -f- z) .

381 . Nous pouvons dès à présent démontrer la légitimité du développement de l(i 4- z) pour les valeurs réelles ou imaginaires de z dont le module est moindre que l'unité. On a, en effet, identiquement et quelle que soit la valeur réelle ou imaginaire de z,

Si le module de :; est moindre que l'unité, celui de :;-" tend vers zéro, et par

conséquent, — ^ — est représenté par la série convergente.

]t résulte de là que \(i-hz), dont la dérivée est ■> ne diffère que par une

constante de la série

1 6 in

dont la dérivée est le second membre de (2), et si l'on admet que, pour z = o, l(i-hz) soit nul comme la série, on aura

qui se trouve démontrée pour toutes les valeurs de z dont le module est moindre que l'unité; l(i H-z) dans cette formule est une fonction continue de z, et a par conséquent la valeur calculée (377); c'est la seule qui soit compatible avec la double condition imposée à la fonction, d'être continue et de s'annuler avec z.