SI

est égale à zb ^- le signe -h correspondant au cas où sin© est positif et le signe — au cas où il est négatif. Lorsque 9 est un multiple de n, tous les termes deviennent nuls et la formule est en défaut. Si l'on suppose 9 = y, on a

Tz \h. / ! r I I r 1 \

formule connue de Newton.

Développement de (i -\-z)'".

384. La fonction (i + z)'" est développable en série convergente lorsque z est réel et moindre que l'unité en valeur absolue. On a alors

,) [, ^z]'"= i -h inz-\ : -z

m (m — i) „ mim — i) . . .[m — n + i )

Admettons ici comme exacte pour les valeurs imaginaires de z, cette série, qui, bien entendu, sera démontrée plus tard, et nous allons en déduire des conséquences remarquables. D'abord, d'après les explications qui ont été données (378), il ne faut attribuer à z aucune valeur dont le module surpasse l'unité; de plus la fonction ( I -i-zf", représentée par la série, étant continue et égale à l'unité pour z = o, ne peut prendre que celle des valeurs de (i+z)'" qui a été calculée (376;. Si l'on pose

*'"'•'' : z = û (cos<pH-v/ — i sin(î)},

p étant plus petit que l'unité, la valeur de (i + z)'" qu'il faut adopter, est

p'"' (cosm&)H- v' — I sinmw) OÙ

/ = V I -f- p' H- 2p coso), psincp

langco

I H- p ces© p' étant positif, etw compris entre — ^ et + ^- Si l'on suppose ^ = i, on a

p'=y/4cos^^cp=±(^^cos^,).

iangw = lang- -->,

et, par suite,

w = — « — kv:,

k étant un nombre entier, déterminé par la condition que w soit compris entre