h 2 cosi^) = 4 cos' - (p

sin? ? , /

arc tang — = - -h /f tt,

on a donc

1 , I C0S2(i) COSScp .COS/ls) - 14 COS'- 9= COS? 1 5 — '-— •••=!= — - — -+

9 , sin 29 sin 3? sinn?

i- + /r7r = sm? 1 5 •••it— - — |.

le nombre entier k étant tel que le premier membre de la seconde équation soit compris entre — - et -i- -• Si ^ est compris lui-même entre — t: et -t- tt, on doit prendre / = o, et l'on a

(il . sin.>.* sin3» , s\\\no

On voit que si «p augmente d'une manière continue, la série qui forme le second membre change brusquement au moment où l'on 39 = 7r,et la somme passe d'une

valeur infiniment peu différente de — > à une valeur un peu supérieure à D'après

ce qui a été dit (264), les dérivées des termes de la série doivent, pour cette valeur de Œ», avoir une somme infinie; c'est ce que l'on vérifie aisément, car ces dérivées se réduisent, pour «p = tt, k

et leur somme est effectivement infinie.

Si dans les formules (4) on suppose p — — 1, elles se réduisent à

I , /• . I / C0S2(p cosStp \

- 1 4 sin= -9 = - ^^cos? H ^ H ^ + . . . j ,

/ I \ / . sin2ip sin3(B

arclang — col - 9 =^ — ( smcp ' ' '

l'arc dont la tangente est — cot - 9, est - — - -1- kn, k étant un nombre entier déterminé, puisque l'on sait que l'arc est compris entre — - et + -• Si 9 est compris

entre o et 2 7t, il faut prendre â: = o, et l'on a par conséquent, pour de telles valeurs

de 9,

(oj - = sincpH — sm2q>H- - sm3«)H- . . . ,

formule déjà obtenue (301) par un procédé très-différent.

383. Les formules (6) et (8) étant vraies toutes deux lorsque 9 est compris entre o et n, on peut les ajouter, et l'on en déduit la formule remarquable

/ , '^ / • sin3cp sin5(p \

(9) ^ = a(^sm,4--3^+-^^-...),

qui a lieu pour les valeurs de 9 comprises entre o et n.

Si l'on change 9 en —9, le second membre change évidemment de signe sans

changer de valeur et devient égal à — -> et comme il ne change pas lorsque 9

augmente de 27:, il en résulte que, pour toute valeur de 9, la série

sin3p sin5»