LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

380. Remarquons enfin que la série (5) ne peut être convergente que si les coefficients du second membre tendent vers zéro, et il faut pour cela (284) quem-t- i soit positif. Si, par exemple, on fait m = — i, m = — 2, on obtient les formules

— = 2(cos:r — ces 3^ + cos5^ — COS7X +...),

cos^r

= 2(cos'2;f — 2cos4^-h 3cos6^ — 4 cosSa; -+-•.-)>

formules évidemment absurdes et qui cependant ont été adoptées par quelques géomètres.

Si dans la formule générale (383) on fait m = — 1 , on en déduit

= I H- p (cos<p -i- y/ — I sin^p) + p' (cos2!p -|- \,/ — i sin 2<p) -f-. . . ;

I — pcos^ — p v^ — I sincp

en multipliant les deux termes de la fraction qui forme le premier membre par I — pcosç) + /5 v^— I sinçj pour rendre le dénominateur réel, et égalant ensuite les parties réelles et les parties imaginaires des deux membres, on a

I p COSqj , ,, „

— - = i + pcostp H-,û'cos2c> H- p^ ces 3» +. . .,

I 2pC0S(j) -h p' r T 1

psin» , , . , . o

■ = p sina»+ p'sin2(i) H- p-^sinicpH-. . .,

qui ont lieu pour toutes les valeurs de p moindres que l'unité.

Quelques développements en série déduits de la considération des fonctions

imaginaires.