On a trouvé (347) , V X ^ , B, ^2 B2 ^* . B3 jc

lî,, B2, B3,... étant les nombres de Bernoulli dont la valeur a été donnée. Or on a (369)

cot.r = v^ — I ( \-\ — rr—

En développant —— = — à l'aide de la formule ( i ) dans laquelle on change x

en 2a;v — I , on a

QOlX =

( llX\l—\ ,2 1.2 1.2.3.4 J '

et en réduisant

( ui a, — — — — — ;;___ „în i

^ 1-2 1.2.3.4 1.2.3.4.5.6 I.9..3. ..in —■•■'

il est facile de vérifier la concordance des premiers coefficients avec les valeurs numériques trouvées (304).

388. Le développement de cota; permet d'en obtenir plusieurs autres; on a

lang.r = cot.r — 2cot2.^',

coséc.r = iang h cot.r,

et l'on en déduit

nous trouverons plus loin les conditions de convergence de ces diverses séries.

389. Reprenons la fonction (i — ^a^ + a'j-i déjà considérée (315); remplaçons z par cos5, et cos5 par sa valeur

on aura, comme on le vérifie aisément,

(0 (l— 2aCOS9-^a')"^ =(l— ae^V^^)"^ (, ag-^V^")"^ .

En appliquant la formule du binôme à chacun des deux facteurs du second membre, on a

(,-,.ee^->y =,+ 1 ,,. v'-. + 14 (a.^v/~) + . . . , 2 2-4

(— a.-^V-)~^ =14- - ae-^^~ + 14 (a.-^v/-) V . . . . 2 2.4

Soit P„ le coefficient de oc" dans le produit de ces deux séries, on a, comme on le voit aisément,