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qu'à ce qu'il s'agisse d'une couronne. La l)eauté du système des infiniment petits justifie cette compaiAison. » Mais cette dernière remarque même est très-contestaljle : le calcul différentiel, si important par ses consé([uences, n'offre pas une de ces brillantes découvertes qui éclatent tout d'abord à l'esprit, et rien ne prouve, comme nous l'avons déjà fait observer, qu'au moment de sa première publication Leibnitz en aperçut toute la portée. Son i^rand mérite fut de saisir dans les théories connues le point véritablement essentiel, de manière à déga^^er, pour l'enseigner à tous, la méthode d'invention que les plus habiles seuls pouvaient reconnaître dans les démonstrations de ses prédécesseurs. 11 réduisit par là des raisonnements compliqués, aux opérations simples et délicates. que les inventeurs, après les avoijaperçues comme dans un trait de lumière, avaient jusque-là rendues méconnaissables sous les correctifs cpi'ils y apportaient pour en assurer la rigueur. Satisfaits de foire connaître le résultat de leurs méditations, ils ne se souciaient pas d'en marquer assez nettement la trace pour qu'un autre put la suivre à son tour. T.eibnitz, au contraire, n'hésita pas à opposer aux objections chimériques que l'on redoutait à tort, les conceptions intuitives de l'esprit, sans lesquelles on ne sait rien comme il faut. Ce sont ces clartés naturelles qui, éclairant les théories jusque-là les plus cachées, et permettant, pour ainsi dire, de les pénétrer d'une seule vue, contribuèrent plus que tout le reste au développement de leurs conséquences.

J'ai cru devoir donner quelques détails historiques siu^ la découverte du calcul différentiel, mais mon dessein n'est pas de faire ici l'histoire complète de ses progrès et de son développement. Il est impossible cependant de ne pas mentionner le rôle des frères Jean et Jacques Bernoulli, qui furent les disciples immédiats de Leibnitz et les confidents de toute sa pensée. Leur nom est mêlé à celui de Leibnitz à chaque page de l'histoire du nouveau calcul, et cette glorieuse ressemblance doit resserrer dans la mémoire des hommes une union que bien des nuages ont troublée pendant leur vie. Us cultivèrent le calcul différentiel avec tant de succès, qu'il leur appartient, a écrit Leibnitz, autant qu'à lui-même. L'aîné, Jacques, employa pour la première fois le calcul infinitésimal dans la solution d'un problème de mécanique déjà résolu par Huyghens et par Leibnitz qui l'avait proposé. L'illustre auteur des nouvelles méthodes s'empressa d'encourager le jeune et

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brillant adepte, dont il paraît avoir immédiatement jugé tout le mérite. Quoique la solution syntliéti([ue eût déjà été donnée, peu de géomètres auraient pu, dit-il, y appli(juer le calcul différentiel, dont les principes sont encore peu conims, et dont personne, à ma connaissance, n a plus complètement pénétré ï esprit.

Jean Bernoulli, frère cadet de Jacrpies, ne tarda pas à le suivre dans la même voie, et ne se distingua pas moins par sa pénétration à résoudre les problèmes que par la difficulté et l'intérêt de ceux qu'il proposait. Leibnitz l'accueillit avec le même empressement; il inspira souvent ces deux brillants esprits , qui plus d' une fois lui rendirent l'impulsion qu'ils avaient reçue de lui .

l.a correspondance de Leibnitz avec les frères Bernoulli forme deux \olumes. Aucun autre ouvrage ne renferme peut-être de problèmes plus ingénieux et en plus grand nombre. T^es questions qui y sont proposées et résolues montrent la puissance des nouvelles méthodes et la pénétration des illustres auteiu^s. Les géomètres trouveront toujours plaisir et profit à y étudier, avec les idées des inventeiu^s, des solutions mêmes que la science, malgré ses progrès, rendrait difficilement plus simples et plus générales. 3Iais ces prol)lèmes eux-mêmes ne peuvent être mêlés qu'en petit nombre à l'exposition générale de la doctrine au^ progrès de laquelle ils ont tant contribué, et l'histoire du rôle des frères Bernoulli ne deviendrait hniiineuse et équitable que par l'exposition détaillée de leiu^s travaux.

Après Leibnitz, Newton et les frères Bernoulli, la succession des grands géomètres n'a plus été interrompue. Euler et d'Alembert, Lagrange et Laplace, Gauss et Abel, Cauchy et Jacobi, ont successivement dirigé le mouvement incessant des mathématiques, et leurs nombreux disciples, souvent devenus leurs émules, nous ont aidés, en s'inspirant d'eux, aies comprendre et à les apprécier. Mon but ne saurait être ici de faire l'histoire des progrès qui leur sont dus. L'exposition détaillée des théories actuelles ne nous conduira même que rarement à faire connaître les travaux des inventeurs. La science en effet, dans son rapide progrès à la fin du dix-septième siècle, n'a pas suivi la marche que nous devrons adopter pour en exposer les principes. Les géomètres s'occupaient surtout alors de résoudre des problèmes^ surmontant les difficultés à mesure qu'elles se présentaient et ]ie s' embarrassant guère que d'arriver au but. Il en est résulté que lorsque

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rilospital eu ii')()\, et Euler en 17 5 5, pii])lièrent les ouvrages qui contiennent, ceux d'Euler surtout, avec des vues grandes et vraies, de noml)reux et de si excellents exemples, l'iui et l'autre exposèrent', pour la première fois, des théories générales dont il ne serait pas juste cependant de leur attril)uer l'invention. Unif[uement désireux de propager la science aux progrès de laquelle ils contribuaient cliaffiie jour, ils se bornent à faire connaître les méthodes sans en discuter l'origine, et comme on ne peut siq)poser qu'ils réclament l'honneur d'avoir tout inventé, rien n'est plus modeste que ce silence qui semble tout placer dans le domaine de tous.

Il est donc impossible d'attacher à cliaque théorie le nom incontesté d'mi inventeur, et le débat célèbre que nous «avons fait connaître se serait renouAclé à l'occasion de chaque progrès important de la science, si, de même qu'on a voulu trop souvent établir qu'un seul a ouvert la voie, on eût absolument tenu à décider dans quel ordre les géomètres l'y ont suivi et jusqu'où chacun s'y est tout d'abord a^ancé. Certaines vérités, en effet, sont acquises implicitement dès que l'attention est appelée sur le principe ({ui y conduit, et l'on peut dire par exemple que la Note pul)liée en i684 dans les Actes de Leipzig ne pouvait manquer de conduire rapidement l\ la presque totalité des théories qui forment le premier Livre de cet ouvrage.

Le premier chapitre est consacré à l'étude géométrique des infiniment petits. On y verra, par la solution développée de quelques problèmes, comment les raisonnements doivent être présentés poiu" être entièrement rigoureux. Mais, les principes mie fois posés, nous emploierons souvent dans la suite le langage commode sous lequel il ne fout voir (jue les mêmes idées plus brièvement exprimées. Ces abréviations consistent à négliger immédiatement, et sans dire pourquoi, ce (jui est effectivement négligeable, et à nommer du même nom, en les traitant comme identiques, les points et les lignes dont la substitution ne peut exercer d'influence sur le résultat final, ("est ainsi que l'on dira souvent : la tangente en un point d'une courbe passe par le point infiniment voisin; lorsqu'une droite mobile reste tangente a une courbe^ on peut la considérer a chacpie instant comme tournant autour du point de contact; ces locutions, et plusieurs autres analogues, sont tellement recMies, quoi(]ue incorrectes, c[u'il faut s'y accoutumer comme à des termes consacrés qui al)régent le discours. Pour plusieurs autems, la