LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE. 41o

peut, par la même raison, être remplacé par la valeur limite.

A'Tr^ h^-n^'

l'équation (2) devient donc, à la limite,

mais il est indispensable de compléter la démonstration, qui n'est pas rigoureuse. Il est bien vrai, en effet, que dans le second membre de la formule (2) un facteur de rang déterminé k, s'approche autant qu'on veut de la limite que nous lui avons assignée; mais, pour chaque valeur de m, le produit contient des facteurs pour

lesquels la substitution n'est pas permise, car lorsque^ est comparable à m, -^ n'est

pas très-petit et le raisonnement n'est plus applicable. Les deux produits

qui tendent à se confondre dans leurs premiers facteurs, cessent donc de s'accorder pour ceux dont le rang est comparable au nombre m. Il faut prouver que cependant ils ont môme limite. Il suffira pour cela d'établir qu'en prenant dans chaque produit un nombre suffisamment grand, mais fini, de facteurs, les produits de ceux qui restent diffèrent, dans l'un et dans l'autre, aussi peu qu'on le voudra de l'unité, car alors, ces facteurs n'ayant pas d'influence sur le résultat limite, il importe peu évidemment que l'on puisse ou non les substituer individuellement les uns aux autres.

Pour que cette double condition soit remplie, il suffit évidemment que les produits (4) et (5) soient l'un et l'autre convergents et pour cela (403) que dans les séries

sin'

sift' X

sin=

les parties réelles et les coefficients de V — 1 forment des séries convergentes indé-

iiC) PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

pcndaniiiicnt des signes de leurs termes. Or ces séries peuvent s'écrire

. 7r 4 . 2 TT Q . Qîr

sin' — sin' — • sin' -=^—

]^es ffïcleurs placés hors delà parenthèse qui seuls contiennent v~'' n'influent évidemment pas sur la convergence des séries à examiner, et tout se réduit à prouver que les séries à termes positifs placées dans les parenthèses sont convergentes; cela a lieu évidemment pour la première, et l'on s'assurera qu'il en est de même de

la seconde en remarquant que le rapport d'un arc moindre que - à son sinus, est

moindre que -•> et que par conséquent les termes de la seconde série sont moindres que ceux de la suite convergente

7r' / II \

Les deux produits (4) et (5) sont donc convergents, et cela, comme nous l'avons dit, permet d'affirmer qu'ils ont même limite.

On a donc enfin, pour toute valeur réelle ou imaginaire de œ,

sm