Expression de smx. — On a trouvé

, > . / . ni'—\ .■ (m=— i)(m^ — 9) . ,

(i 's>mmx = m sin.r ^r-sin^^-h , . - sxn^x — .

Lorsque m est un nombre entier impair, le second membre de cette équation est composé d'un nombre fini de termes, etse réduit à un polynôme de degré m ordonné

m PREMIÈRE PARTIE. - CALCUL DIFFÉRENTIEL.

suivant les puissances de sin^. La formule peut dans ce cas être démontrée plus directement et déduite des formules fondamentales qui expriment sm{a + b) et cos(a-h^) et permettent, comme on sait, de former les sinus et cosinus des multiples d'un arc en éliminant, dans le cas actuel, les puissances du cosinus qui sont toutes de degré pair.

Cette démonstration a l'avantage de s'appliquer aux valeurs imaginaires comme aux valeurs réelles de l'arc x.

En supposant m entier et impair, le second membre de l'équation (i j étant un polynôme de degré m, peut se décomposer en facteurs du premier degré qui correspondent aux racines de l'équation s'inmx— o, dans laquelle on considère sina; comme inconnu. Toutes ces racines sont réelles, comme on sait, et égales à o,

±sin— , ihsin— ,• -^ ± sin — ^^ — ; on a, par conséquent, en désignant par C mm -2 m ^ '■ v i

une constante indépendante de oo,

sin w^ = Lsin^ sin^.a? — sin^ — sin'.r — siii- — ••• snvx — sin^

ou, ce qui revient au même, en posant

smmx^L, sin,;t: / i

Dans cette formule, m désigne un nombre entier impair et x un arc quelconque réel ou imaginaire.

Si l'on suppose x infiniment petit, le premier membre peut être remplacé par mx et le second par ÇIx; C est donc égal à m, et la formule devient

/sin-'rX / sin-'^ \ / sin'x

sm- — / \ sm-

Posons mx = z, et supposons que, z restant invariable, m augmente indéfiniment; le second membre deviendra un produit d'un nombre infini de facteurs. Cherchons son expression limite.

Lorsque m augmente, x, égal à — > est infiniment petit ; sina? peut donc être rem-

sin-ar

placé par — 5 et m sin ^par z. L'un quelconque des facteurs

sin- — m