LIVRE SECOND. -DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Quelques séries déduites des formules précédentes. 409. L'équation

donne

(a) I.sin.r = U+l(.-^)+l('-^.)-i-l('-^.)+.--.

on en déduit, en prenant les dérivées des deux membres,

l IX' 2^ 7,X

mais on a

(4) . ^2 ^1 — ^2 ^Tj. — X /rTT-f-x ' donc

(5) cot^=- +

.r V:-\-X TT ^ 27rH-a7 277 — X

Si dans cette formule on remplace x par tt^?, elle devient Si dans la formule (5) on remplace a; par \—oc, elle devient

qui aurait pu s'obtenir directement en partant de l'expression de cosa;. En ajoutant les formules (5) et (7), on a

sinax X "K 77 ic-\-x 77 X

3r Stt 277 -h .r 2 77 X

Si l'on pose 2X = an, on en déduit

sin «77 a I — a i + a 12 -\- a 2 — a

Toutes ces formules, données par Euler, sont célèbres et importantes.

410. On obtient d'autres séries remarquables en développant les deux membres des équations précédemment obtenues pour identifier ensuite les deux développements.

Reprenons la formule

(i) sin^r =^xl I —

on a

sin^r = X

En formant le produit indiqué au second membre de (i) d'après les règles de la multiplication algébrique, on voit que le coefficient de — x^ est la somme des fractions

le coefficient de x^ la somme de leurs produits deux à deux, celui de — ^' la somme de leurs produits trois à trois, et ainsi de suite. Nous pouvons donc écrire

et, par conséquent,

tt' III

Connaissant la somme des produits deux à deux, trois à trois, etc., d'un nombre quelconque de quantités, on peut, comme on sait, former la somme de leurs carrés, la somme de leurs cubes, etc., et l'on formera de cette manière la somme des puissances semblables de degré pair quelconque des inverses des nombres naturels; mais, sans nous arrêter au calcul numérique de chacune de ces sommes, nous allons faire connaître leur expression générale, qui est liée, comme on va le voir, aux nombres de Bernoulli.