LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Stirling, qui fait connaître l'expression approchée du produit i .2...x pour de grandes valeurs du nombre entiers.

La formule de Stirling, sur laquelle nous aurons à revenir, entraîne évidemment celle de Wallis; la réciproque a été établie de la manière suivante par M. Serret :

La formule de Wallis donne

TT ( 2.4 -6. . . 2Ai)' 2^ fi .5. 3. . . «)'[ 2. 4 . • • (an — 2)2/1]-

2 [l .3.5- .. {9.11 l)]-{'2n-{-l') [1 .2.3. . . (2«)p(2Al-|-l}

(1.2.3. ..nr = Imi 2'

( I . 2. 3. . . 2n]'''(2n -f- I ) Si l'on pose

l'équation ( i ) équivaut, comme on le vérifie aisément, a

(3) ^hn^"^=u

Or on peut démontrer directement que l'on a aussi

(4 hm— — — =1,

et la comparaison des équations (3) et (4) exige évidemment que 9 (w) ait pour limite l'unité.

Pour prouver l'équation (4), remarquons que l'on a, d'après l'équation (2J,

(f[ r-hi ) e \ X

or on a, en désignant par 6' et 6" des nombres compris entre zéro et l'unité,

xl X -i x'- X 2 .Z'^ 3 X^

par conséquent

2/ \ xl \x IX- 6x^1 1 \x o.x^ I 6 X- 4-^

OU enfin, 6" étant un troisième membre plus petit que l'unité en valeur absolue,

On déduit de cette formule, en remplaçant successivement ^ par a; + i, 00 + 2,.,., 0.x— r, et désignant par 5" , Ô"^,..., C-.» des nombres compris entre — i et +1,

y(.r+i ) ^Fm^, y(jc4-^) __ (w?^ cpf2.r— i) ^ ^.(-^^-i)'-.

Multiplions ces équations membre à membre, en remarquant que la valeur absolue de la somme

est moindre que — . x, c'est-à-dire que - , nous pourrons écrire, en supprimant tous les facteurs communs au numérateur et au dénominateur du premier membre,

Cette équation montre que, x croissant indéfiniment, -^ — ^ a pour limite l'unité ,

^1 cp ['2.x) ^

-V^^ ayant aussi pour limite l'unité, le rapport des deux fractions, c'est-à-dire

«p (^), tend aussi vers l'unité.

En d'autres termes, on a, approximativement, pour de grandes valeurs de ^,

l'erreur relative étant d'autant moindre que œ est plus grand: c'est le tbéorème de Stirling.

418. M. Serret, en faisant connaître cette démonstration élégante, a montré qu'elle conduit à une série convergente qui représente exactement le logaritbme du produit i . 2 .3. . .a;, et dont la formule obtenue équivaut au premier terme. Posons en effet comme précédemment

\/'2.TTe-''x^-^2

on a identiquement

^ , \ , 9{^) l'Pl'^ + i) 1 vix -h m) , , .

]^{x) = 1 —Ll—L \-\ Il i-i-. . .H-1 -7^ '—--j-\^{x-h ni -h I .