LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

Si m croît indéfiniment, 9(0; + m -f- f) tend vers l'unité et son logarithme tend vers zéro ; on a donc

K-, . 'Dix -+- Aï

Mais l'équation (2), qui sert de définition a 9(^), donne

1(1.2.3.. x)= ^l27T— jr-hf^ + Ml.^ + l?(-^)'

et, en remarquant que l'on a

et, par conséquent,

on a en

fin

Cette formule a été donnée pour la première fois par M. Gudermann. La démonstration même prouve que la série est convergente; il est aisé d'ailleurs de s'en assurer directement. Le terme général

est égal en effet à

{''^''^ï)[^~^{x'^ny'^^WT^')~'' 0 étant plus petit que l'unité ; or, en effectuant les multiplications, cette e^ftpsion se réduit à la somme

3 /îjix + ny 6(x4-«r qui est évidemment le terme général d'une série convergente.

EXERCICES

i. Si dans l'équation

sin a = ^ 1 z.

on considère sin a comme donné, et a: comme inconnu, l'une des racines étant a, les autres sont a ±2/1,7, 7z — c±-2nn, en appliquant la théorie des équations algébriques de degré fini, sur la décomposition d'un polynôme en facteurs, on en conclut

sma — sin£^ / x\ / x \l x

sina -y--^) y~^;r=i)V + -;rT-.

27r-|-a/ \ 27r — al \ Stt — a

et cette équation est exacte quoique la démonstration manque de rigueur. 2. Si dans l'équation

COS az= I \.

on considère cos a comme donné, et x comme inconnu, l'une des racines étant -. les autres som comprises dans la formule ±(2n7.± a), on en conclut, en appliquant la m'ême mduction que dans le cas précédent,

cos.r — COSo^ I — cos a

a- / i ' (277 — a)0 L' (277-ha)^J L' (4;,^).J"

et cette formule est exacte comme la précédente. 3. La formule de Wallis

équivaut à la série

- ^ I — - — ^^ !ll^!? 1^3^ 5'. 7

ff 2^ 2^ iç- 2' . 4-' , 6^ 2 .4^6'.'8'2 ~ " '