DÉVELOPPEMENTS EN FRACTIONS CONTINUES

Définition des fractions continues.

419. Le développement d'une fonction en fraction continue est souvent utile pour le calcul numérique de sa valeur. Nous donnerons cependant peu de détails sur ce mode de développement qui jusqu'ici n'a pas joué un grand rôle dans l'étude des propriétés analytiques, qui est notre but principal.

Rappelons d'abord que l'on désigne sous le nom de fraction continue une expression de la forme

dans laquelle a, , «2 , aj,..., a^, a.^, a.^,..., peuvent avoir des valeurs quelconques. La fraction continue qui représente une expression algébrique ou numérique est d'après cela évidemment indéterminée. Si l'on exige que les numérateurs a, , «3 , . . . , soient tous égaux à l'unité, et que les dénominateurs soient entiers^ le problème n'admet au contraire qu'une seule solution. La fraction continue jouit alors de propriétés très-remarquables et fournit par ses réduites les valeurs approchées les plus simples que comporte le degré d'approximation obtenu. Mais il n'entre pas dans notre plan d'aborder ici cette théorie très-connue d'algèbre élémentaire.

Transformation dune série en fraction continue. 420. Soit la série

On a identiquement

Si dans cette équation on change ^ en ^- ^^ ou, ce qui revient au même,

Aa en Ao -h j^zTj:' ^" ^"''^

A, A. "*" A, rrzzÂL— A H -^ —

En remplaçant dans cette équation identique ^^ par ^^ - ^, c'est-à-dire A, par

A, H ^^i — , on trouvera de même

' ^ At— A,

et l'on voit que la série indéfinie est égale a la fraction

Cette fraction est convergente en même temps que la série, et précisément comme elle, puisqu'en s'arrêtant après un nombre quelconque de fractions intégrantes, on représente précisément un nombre égal de termes de la série.