Considérons encore la fonction

^ j=: arc langer.

Lorsque x est infiniment petit, y est égal à ^; posons donc

on en conclut *

(ly I r cly\

Ix^ I +j, [i-i-y\Ydx

Remnlacons -,^ par sa valeur — '- — :. et chassant les dénominateurs, nous aurons » ^ rt.r * i -^ x^

Pour une valeur infiniment petite de x, on sait que la différence/ - x est du troisième ordre; il en résulte que j, est infiniment petit du second ordre; mais l'équation précédente suffit pour le démontrer en déterminant en même temps sa valeur approchée. Posons en effet

m étant une constante inconnue et a une fonction à^ x , qui reste finie lorsque x est infiniment petit. L'équation (i) deviendra (45)

X [i ^ x^) {moiX'"-'){\ -\- z) — X' {\ ^ '^x'") -^ :>.x'" [\ ^ o.x'") = o,

i étant intiniment petit avec x. Si dans cette équation on suppose x infiniment petit, le premier terme est d'ordre m, le second du second ordre, et le troisième d'ordre m. Or il est évident que la somme des coefficients des termes de l'ordre le plus élevé doit être nulle; on doit donc avoir, si m est moindre que 2,

ce qui est impossible, et si m surpasse 7 ,

ce qui est également impossible puisque y. a, par bypotbèse, une valeur finie. Il faut donc prendre m = •>., et l'on a alors

ou

La valeur approcbée de 7, est donc y, = ^ et nous poserons

y., étant infiniment petit avec x.

On verra sans peine que jo satisfait à l'équation

&2 dx

On en conclut que, pour une valeur infiniment petite àe x, y., est du second ordre et a pour valeur approchée ïx"^-, posons donc

5 + 1-3 On verra de même que 73 satisfait à l'équation

et l'on en déduira que, pour une valeur infiniment petite de x, la valeur approchée de 73 est ^ : on posera donc

7+74 et l'on aura, en continuant de même,

arc u

Ulg X —