LIVRE SECOND. - DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIE

429. La transformation des séries est souvent la méthode la plus commode pour obtenir les développements sous forme de fraction continue et en étudier la loi. Nous en indiquerons quelques exemples.

Citons d'abord la transformation de la série

donnée par Legendre dans une Note de sa Géométrie, et dont il a déduit des conséquences remarquables.

Om déduit de l'équation

en retranchant les deux équations membre à membre et effectuant la soustraction des termes correspondants dans les seconds membres, on a

c'est-à-dire, d'après la définition de 9 (z) ,

Divisons par 9(24-1) les deux membres de cette équation et posons

l'équation (a) devient, comme on le vérifie aisément,

En remplaçant successivement dans cette équation z par s4-i, 24-2, .., on aura

■if{z 4-2) =

et par conséquent

<\> (z), d'après sa définition, représentant le quotient

(5) ^ iz-h l) 2 (z -h i) i z + 9.

a I ce

Si l'on pose js = - , la fraction continue peut évidemment se mettre sous la forme

dans laquelle les numérateurs, excepté le premier, sont égaux à (\a, et les dénominateurs forment la suite des nombres impairs; quant à la fonction ^ [z) représentée par cette fraction, elle devient, par l'hypothèse z—-.

2rt 7 ~ ~ '-

Il est aisé de voir que cette fraction équivaut à

On a donc

Si l'on pose4a = £t;'-, on en conclut