XXVI PRÉFACE

ralejoccupe une place importante dans le Calcul différentiel d'Euler, qni ne laisse en dehors de ses méthodes aucun des cas utiles ou curieux que l'on peut avoir à considérer.

Le Chapitre VIII est consacré à la formation des équations différentielles. Ces équations devaient naître naturellement des problèmes inverses relatifs aux tangentes, et l'on ne pouvait tarder à voir, comme Jean Bernoulli le remarqua le premier, qu'à une même équation différentielle correspondent une infinité de courbes, dont l'équation générale contient une constante arbitraire. De là à éliminer la constante par la différentiation, il n'y a qu'un pas qui devait conduire forcément à éliminer plusieurs constantes par le moyen des dérivées d'ordre supérieur. Euler fut le premier à exposer cette théorie. Cependant, je le répète, on ne pourrait pas, sans injustice pour Leibnitz et les frères Bernoulli, lui en attribuer l'invention. Il n'a d'ailleurs fait lui-même qu'esquisser la théorie de l'élimination des fonctions arbitraires dont nous donnons l'importante application faite par IMonge à l'étude des diverses classes de surfaces. Parmi les travaux qui ont servi à constituer cette partie de la science, signalons enfin un excellent Mémoire d'Ampère, sur lequel nous aurons à revenir.

La correspondance des géomètres du dix-huitième siècle offre, presque à chaque page, des exercices et des développements sur une théorie importante qui, née en même temps que le calcul différentiel, appliquée souvent à la solution des mêmes problèmes, et se développant avec lui, en a reçu et lui a fourni de tels secours, qu'il est aujourd'hui presque nécessaire de les étudier en même temps.

Le Livre II est consacré à l'exposition de cette doctrine, dont nous devons esquisser rapidement l'histoire.

On peut faire remonter à Archimède l'emploi d'une série infinie. La méthode qu'il emploie pour carrer la parabole suppose en effet la sommation d'une progression illimitée. Dans le Traité sur V Hélice, il a été conduit, comme Cavalleri, Pascal et Wallis l'ont été depuis, à considérer l'aire d'une portion de courbe comme la somme d'une iïifinité d'éléments ; mais il n'y a pas là de séries proprement dites, parce que ces éléments sont variables et diminuent à mesure que leur nombre augmente, tandis que les termes d'une série, également en nombre infini, ont chacun une valeur fixe qui, bien